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2020届辽宁省大连市高三上学期第三次模拟考试数学(文)试卷(PDF版)

发布时间:

高三第三次模拟考试

数学文科卷

满分:150 分

时间:120 分钟

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合 M ? ?x (x ? 2)(x ?1) ? 0? , N ? ?x x ?1 ? 0? ,则 M N ? ( )

A. (?1,1)

B. (?2,?1) C. (?2,1)

D. (1,2)

2.设函数

f

(

x)

?

??1?

? ??

x2

x2, ?x?

x 2,x

≤1,

? 1,

f

? ? ?

f

1 (2)

? ? ?

的值为

()

A. 15 16

B. ? 27 16

C. 8 9

D.18

3.给出命题:若函数 y ? f (x) 是幂函数,则函数 y ? f (x) 的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、

逆否命题三个命题中,真命题的个数是

A.3

B.2

C.1

()
D.0

4.设等比数列?an? 的公比

q=2,前

n 项和为

Sn,则

S4 a2

=

17

15

A.4

B.2

C.

D.

2

2

5. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积

为( )

()

A. 3?

B. 7 ? 3

C. 20 ?

D. ?

3

6. 函数 f (x) ? cos 2x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为

A. ?1,1

B. ?2 , 2

7. 下列程序运行结果是

(

s=0;

i=1;

j=0;

while s<30

s=s+i ;

C. ?2 , 3 2
)

D. ?3 , 3 2



1第

()

i =i +3; j=j+1; end print(%io(2),j)
A. 4

B.5

C.6

D.7

8.右图是由一个圆,一个三角形和一个长方形组合而成的图形,现用红,蓝两种颜色为其涂色,则三个图

形颜色不全相同的概率为

3

3

1

A.

B.

C.

4

8

4

()
1
D.
8

9.已知扇形 OAB 的半径为 2,圆心角为 2? ,点 C 是弧 AB 的中点,OD ? ? 1 OB ,则 CD ? AB 的值为

3

2

() A.3

B.4

C. ?3

D. ?4

10. 在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“ ? ”如下:

当 a ? b 时, a ? b ? a ;当 a ? b 时, a ? b ? b2 。

? ? ? ? 则函数 f ( x) ? (1? x)·x ? (2 ? x) x ? ?2,2 的最大值等于

(“·”和“-”仍为通常的乘法和减法)

A. ?1

B.1

C.6

D.12

()

11. 数列?an ?的a1 ? 1, a ? ?n, an ?,b ? ?an?1, n ?1?,且a ? b,则a100 ?

()

A. 100 99

B.— 100 99

C. 100

D.—100

12.已知抛物线 y2 ? 2x 的焦点为 F ,以点 P( 9 , 0) 为圆心, PF 为半径作一圆与抛物线在 x 轴上方交 2

于 M , N 两点,则 MF ? NF 等于

()

A. 9.5

B.9

C.8

二、填空题:本大题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分.

D.7

?x ? y ? 5 ? 0,

13.

.已知

x,

y

满足约束条件

? ?

x ? y ? 0,

则 z ? 2x ? y 的最小值为

.

?? x ? 3,

14. 已知数据 x1, x2, x3, x4, x5 的平均数是 3,方差为 4,则数据

5x1 ?1,5x2 ?1,5x3 ?1,5x4 ?1,5x5 ?1的平均数和方差分别是____________。

15.已知数列 ?a n ?的前项 n 和为 S n ,且满足 Sn ? 2n?2 ? 3 ,则 a n =____________。

16.已知函数 f ( x) ? 1 x3 ? bx2 ? c ,( b, c 为常数),当 x ? 2 时,函数 f ( x) 取得极值,若函数 f ( x) 只 3



2第

有一个零点,则实数 c 的取值范围为____________。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? a(2 cos2 x ? sin x) ? b 。 2
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)当 a ? 0 ,且 x ??0,? ?时, f (x) 的值域是 ?3,4?,求 a,b 的值。

18.(本小题满分 12 分)

如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且

A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上.

A1

(Ⅰ)求证: BC ? A1D ; (Ⅱ)求证:平面 A1BC ? 平面 A1BD ; (Ⅲ)求三棱锥 C ? A1BD 的体积.

D

O

C

A

B

19.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? a (a, b ? R)
(1)若 a ??0,1, 2, 3? , b ??0,1, 2, 4? ,求方程 f ( x) ? 0 恰有两个不相等的实根
的概率;
(2)若 a ? ?0, 3? , b ??0, 2? ,求方程 f ( x) ? 0 没有实根的概率。

20.(本小题满分 12 分),
已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? b 。

(1)是否存在实数 a

,使得

f

(

x)在

? ??

1 2

,1???

上为单调减函数,若存在求出

a

的值,若不存在,请说明理由.

( 2 ) 若 函 数 f (x) 的 图 象 在 x ? 1 处 的 切 线 平 行 于 x 轴 , 对 任 意 的

x ?[1, 4],都有f ( x) ? f '( x)成立,求f (0) 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)

已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆,离心率 e ? 2 ,且经过抛物线 x2 ? 4 y 的焦点.若过点 B(2, 2
0)的直线 l (斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点 E、F(E 在 B、F 之间),



3第

(1)求椭圆的标准方程;
(2)求直线 l 斜率的取值范围; (3)若 ? OBE 与 ? OBF 面积之比为 ? ,求 ? 的取值范围.
(请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,若多作,则按所作第 1 题记分,每题 10 分)
22.如图,圆 O 的内接 ?ABC 中,AB=AC,D 是圆 O 上的一点,AD 的延长线交 BC 的延长线于 P,

(1)求证:AB 2 ? AD ? AP
(2)若圆 O 的直径为 25,AB=20,AD=10,求 PC 的长

23.以直角坐标系原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴。已知点 P 的直角坐标为(1,-5),点 M 的极坐标

为(4, ? ),若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ? ,圆 C 以 M 点为圆心,4 为半径

2

4

(1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程;

(2)直线 l 与 x 轴 y 轴分别交于 A, B 两点, Q 为圆 C 上一动点,求 ?ABQ 面积的最小值。

24.已知关于 x 的不等式 ax ?1 ? ax ? a ? 1, (a ? 0) (1)a=1,求此不等式的解集。(2)若此不等式解
集为 R,求实数 a 的取值范围



4第

高三数学文科卷答案

一、选择题: B A C D B D B A C C D C

二、填空题:13. ? 15 2

14. 14 100

15.

?5

? ?

2n?1

?n ? 1?
(n ? 2)

16. (??, 0) ? ( 4 , ??) 3

三、解答题:
17.解:(Ⅰ)? f (x) ? 1? cos x ? sin x ? b ? 2 sin( x ? ? ) ? b ?1,-----2 分 4

? 递增区间为???2??

?

3? 4

,2??

?

?4(??? ?

?

?)

……………………6 分

(Ⅱ)? f (x) ? a(sin x ? cos x) ? a ? b ? 2a sin( x ? ? ) ? a ? b 4



x

?

?0,?

?,

则x

?

? 4

?

?? ?? 4

,

5? 4

???,?

sin(

x

?

? 4

)

?

? ?? ?

2 2

? ,1?
?

…………8 分

? 2a ? a ? b ? 4



? ?

? ?

2a(?

2 ) ? a ? b ? 3, 2

--------10 分

?

?a ?

?

2 ?1

?b ? 3.

18.(本小题满分 12 分)

………………………12 分

证明:(Ⅰ)∵ A1在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上,

∴ A1O ⊥平面 BCD ,又 BC ? 平面 BCD ∴ BC ? A1O ……2 分

又 BC ? CO, A1O ? CO ? O,

∴ BC ? 平面 A1CD ,又 A1D ? 平面A1CD ,∴ BC ? A1D …4 分

(Ⅱ)∵ ABCD 为矩形 ,∴ A1D ? A1B

A1

由(Ⅰ)知 A1D ? BC, A1B ? BC ? B

D

O

C

∴ A1D ? 平面 A1BC ,又 A1D ? 平面 A1BD

∴ 平面 A1BC ? 平面 A1BD

……8A分

B

(Ⅲ)∵ A1D ? 平面 A1BC ,

∴ A1D ? A1C .…10 分

∵ A1D ? 6,CD ? 10 ,



5第

∴ A1C ? 8 ,



VC? A1BD

? VD?A1BC

?

1 ? (1 ? 6?8) ? 6 32

?

48 .

…12 分

19.(1)若 a ??0,1, 2, 3? , b ??0,1, 2, 4? ,共有如下 16 种情况:(0,0),(0,1),

(0,2),(0,4),(1,0),(1,1),(1,2),(1,4),(2,0)(2,1),(2,2),(2,4),(3,0),(3,1),

(3,2),(3,4)

------2 分

方程 f ( x) ? 0 恰有两个不相等的实根, a ? 0 , ? ? 0 ,可得 a ? 0 且 b ? a

满足的有(1,2),(1,4),(2,4),(3,4)共 4 种,

------4 分

所以方程 f ( x) ? 0 恰有两个不相等的实根的概率 P ? 4 ? 1 16 4

------6 分

(2)若 a ? ?0, 3? , b ??0, 2? ,方程 f ( x) ? 0 没有实根 ? ? 0 , b ? a ,符合几何概型

所以方程

f

(x)

?

0 没有实根的概率

P

?

2?

3?

1 ? 2? 2

2

?

2

2? 3

3

20.(1)使得

f

(

x)在

? ??

1 2

,1???

上为单调减函数,

------12 分



f

?( x)

?

3x2

?

2ax

?

3

?

0



? ??

1 2

,1???

上恒成立

可得 a ? 3x2 ? 3 ? 3 ( x ? 1 ) , 2x 2 x

--------2 分

函数 x ? 1 在(0,1)递减,所以当 x ? 1 时 x ? 1 最大值等于 5 ,所以 a ? 15 ----5 分

x

2

x

2

4

(2)函数 f (x) 的图象在 x ? 1处的切线平行于 x 轴,

所以 f ?(1) ? 0 ? 3 ? 2a ? 3 , a ? 3 。

--------6 分

因为 f ( x) ? f '( x) 所以 x3 ? 3x2 ? 3x ? b ? 3x2 ? 6x ? 3 ,

即 b ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? 3 设 g( x) ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? 3 , x ? ?1, 4?

g?( x) ? ?3x2 ? 12x ? 9 ? ?3( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,(1,3)单调递增, (- ? ,1),(3,+ ? )单调递减;
所以 g( x) ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? 3 在 x ? ?1, 4? 上的最大值为 g(3) ? 3 ,

所以 b ? 3 , f (0) ? b ? 3

---------12 分



6第

21、解:(I)设椭圆的方程为 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) ,则 e ?

c a

?

2 ①, 2

∵抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点为(0, 1), ….2 分 ∴ 02 ? 12 ? 1 ② a2 b2

由①②解得 a 2 ? 2, b2 ? 1. ∴椭圆的标准方程为 x 2 ? y 2 ? 1. ……2 分 2
(II)如图,由题意知 l 的斜率存在且不为零, 设 l 方程为 y ? k(x ? 2)(k ? 0) ①,

将①代入 x 2 ? y 2 ? 1,整理,得 2

(2k 2 ? 1)x2 ? 8k 2 ? x ? (8k 2 ? 2) ? 0 , 由 ? ? 0 得

0? k2 ? 1. 2

k ? (? 2 ,0) ? (0, 2 ) ---- 6 分

2

2

(3)设 E(x1, y1) 、 F(x2 , y2) ,则 ???????x1x1?x2x2??82k2k2k28?2k?2?211,

②令 ? ? S?OBE , 则 ? ? BE ,

S ?OBF

BF

由此可得 BE ? ? ? BF , ? ? x1 ? 2 ,且 0 ? ? ? 1
x2 ? 2

-------8 分

( x1

? 2) ? (x2

? 2)

? ?4 1 ? 2k 2

, (x1

? 2) ? (x2

? 2) ?

x1 x2

? 2(x1

?

x2

)

?

4

?

1

?

2 2k

2

.



? (1 ? ?)2

? 2k 2 ? 1 , 即 k 2 ? 4? ? 1 .∵

8

(1 ? ?)2 2

0? k2 ? 1, 2

∴ 0 ? 4? ? 1 ? 1 ,解得 (1 ? ?)2 2 2

3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2.又∵ 0 ? ? ? 1 ,

∴ 3 ? 2 2 ? ? ? 1 ,∴ ? OBE 与 ? OBF 面积之比的取值范围是( 3 ? 2 2 , 1).

-----12 分
22. (1) 即证 AB ? AP ,也即证 ?ABD ? ?ABP 。? ?BAD ? ?PAB ,又 ?ADB ? ?ACB ? ?ABP , AD AB
即得证。 (2)由(1)可知 AP=40,PD=30,
延长 AO 交圆于 M,交 BC 于 E,可求得 EC=12,BC=24,?由

PC ? PB ? PD ? PA, 即 PC(24+PC)=30×40=1200,即 PC 2 +2h4PC-1200=0



7第

PC=-12+8 21 23.(1)直线 l 的方程: ? sin? ? ? cos? ? ?6-------3 分

圆 C 的方程: ? ? 8sin ?

---------5 分

(2)直线 l 与 x 轴交与 A(6, 0), B(0, ?6) , AB ? 6 2 ,圆心到直线 l 的距离为 d ? 5 2 ?ABQ 面积的最小值

= 1 AB (d ? 4) ? 30 ? 12 2 2

---------10 分

24.(1)a=1,即 x ?1 ? 1 , 解集为(- ?, 1] ? [ 3 ,??)

2

22

(2) ax ?1 ? ax ? a ? ax ?1 ? (ax ? a) ? a ?1 ? 1,?a ? 0 或 a ? 2 .



8第



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