2020届辽宁省大连市高三上学期第三次模拟考试数学(文)试卷(PDF版)

高三第三次模拟考试

数学文科卷

满分:150 分

时间:120 分钟

一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1．已知集合 M ? ?x (x ? 2)(x ?1) ? 0? ， N ? ?x x ?1 ? 0? ，则 M N ? （ ）

A． (?1，1)

B． (?2，?1) C． (?2，1)

D． (1，2)

2．设函数

f

(

x)

?

??1?

? ??

x2

x2， ?x?

x 2，x

≤1，
则
? 1，

f

? ? ?

f

1 (2)

? ? ?

的值为

（）

A． 15 16

B． ? 27 16

C． 8 9

D．18

3．给出命题：若函数 y ? f (x) 是幂函数，则函数 y ? f (x) 的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、

逆否命题三个命题中，真命题的个数是

A．3

B．2

C．1

（）
D．0

4．设等比数列?an? 的公比

q=2，前

n 项和为

Sn，则

S4 a2

=

17

15

A．4

B．2

C．

D．

2

2

5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积

为( )

（）

A. 3?

B. 7 ? 3

C. 20 ?

D. ?

3

6. 函数 f (x) ? cos 2x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为

A． ?1，1

B． ?2 ， 2

7. 下列程序运行结果是

(

s=0；

i=1；

j=0；

while s<30

s=s+i ；

C． ?2 ， 3 2
)

D． ?3 ， 3 2

页

1第

（）

i =i +3； j=j+1； end print(%io(2),j)
A． 4

B．5

C．6

D．7

8．右图是由一个圆，一个三角形和一个长方形组合而成的图形，现用红，蓝两种颜色为其涂色，则三个图

形颜色不全相同的概率为

3

3

1

A.

B.

C.

4

8

4

（）
1
D.
8

9.已知扇形 OAB 的半径为 2，圆心角为 2? ，点 C 是弧 AB 的中点，OD ? ? 1 OB ，则 CD ? AB 的值为

3

2

（） A．3

B．4

C． ?3

D． ?4

10. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ? ”如下：

当 a ? b 时， a ? b ? a ；当 a ? b 时， a ? b ? b2 。

? ? ? ? 则函数 f ( x) ? (1? x)·x ? (2 ? x) x ? ?2，2 的最大值等于

（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）

A． ?1

B．1

C．6

D．12

()

11. 数列?an ?的a1 ? 1, a ? ?n, an ?,b ? ?an?1, n ?1?,且a ? b,则a100 ?

（）

A． 100 99

B．— 100 99

C． 100

D．—100

12．已知抛物线 y2 ? 2x 的焦点为 F ，以点 P( 9 , 0) 为圆心， PF 为半径作一圆与抛物线在 x 轴上方交 2

于 M , N 两点，则 MF ? NF 等于

（）

A． 9.5

B．9

C．8

二、填空题：本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分.

D．7

?x ? y ? 5 ? 0,

13.

．已知

x,

y

满足约束条件

? ?

x ? y ? 0,

则 z ? 2x ? y 的最小值为

.

?? x ? 3,

14. 已知数据 x1, x2, x3, x4, x5 的平均数是 3，方差为 4，则数据

5x1 ?1,5x2 ?1,5x3 ?1,5x4 ?1,5x5 ?1的平均数和方差分别是____________。

15．已知数列 ?a n ?的前项 n 和为 S n ，且满足 Sn ? 2n?2 ? 3 ，则 a n ＝____________。

16．已知函数 f ( x) ? 1 x3 ? bx2 ? c ，( b, c 为常数)，当 x ? 2 时，函数 f ( x) 取得极值，若函数 f ( x) 只 3

页

2第

有一个零点，则实数 c 的取值范围为____________。
三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? a(2 cos2 x ? sin x) ? b 。 2
（Ⅰ）当 a ? 1 时，求 f (x) 的单调递增区间；

（Ⅱ）当 a ? 0 ，且 x ??0,? ?时， f (x) 的值域是 ?3,4?，求 a,b 的值。

18．(本小题满分 12 分)

如图，已知矩形 ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线 BD 把△ABD 折起，使 A 移到 A1 点，且

A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上．

A1

（Ⅰ）求证： BC ? A1D ； （Ⅱ）求证：平面 A1BC ? 平面 A1BD ； （Ⅲ）求三棱锥 C ? A1BD 的体积．

D

O

C

A

B

19．(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? a (a, b ? R)
（1）若 a ??0,1, 2, 3? ， b ??0,1, 2, 4? ，求方程 f ( x) ? 0 恰有两个不相等的实根
的概率；
（2）若 a ? ?0, 3? ， b ??0, 2? ，求方程 f ( x) ? 0 没有实根的概率。

20．(本小题满分 12 分)，
已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? b 。

（1）是否存在实数 a

，使得

f

(

x)在

? ??

1 2

,1???

上为单调减函数,若存在求出

a

的值,若不存在,请说明理由.

（ 2 ） 若 函 数 f (x) 的 图 象 在 x ? 1 处 的 切 线 平 行 于 x 轴 , 对 任 意 的

x ?[1, 4],都有f ( x) ? f '( x)成立,求f (0) 的取值范围.

21．(本小题满分 12 分)

已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆，离心率 e ? 2 ，且经过抛物线 x2 ? 4 y 的焦点．若过点 B（2， 2
0）的直线 l （斜率不等于零）与椭圆交于不同的两点 E、F（E 在 B、F 之间），

页

3第

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求直线 l 斜率的取值范围； （3）若 ? OBE 与 ? OBF 面积之比为 ? ，求 ? 的取值范围．
（请考生在第 22，23，24 题中任选一题做答，若多作，则按所作第 1 题记分，每题 10 分）
22．如图，圆 O 的内接 ?ABC 中，AB=AC，D 是圆 O 上的一点，AD 的延长线交 BC 的延长线于 P，

（1）求证：AB 2 ? AD ? AP
（2）若圆 O 的直径为 25，AB=20，AD=10，求 PC 的长

23．以直角坐标系原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴。已知点 P 的直角坐标为（1，-5），点 M 的极坐标

为（4， ? ），若直线 l 过点 P，且倾斜角为 ? ，圆 C 以 M 点为圆心，4 为半径

2

4

（1）求直线 l 和圆 C 的极坐标方程；

（2）直线 l 与 x 轴 y 轴分别交于 A, B 两点， Q 为圆 C 上一动点，求 ?ABQ 面积的最小值。

24．已知关于 x 的不等式 ax ?1 ? ax ? a ? 1, (a ? 0) （1）a=1,求此不等式的解集。（2）若此不等式解
集为 R，求实数 a 的取值范围

页

4第

高三数学文科卷答案

一、选择题: B A C D B D B A C C D C

二、填空题：13. ? 15 2

14. 14 100

15.

?5

? ?

2n?1

?n ? 1?
(n ? 2)

16. (??, 0) ? ( 4 , ??) 3

三、解答题:
17．解：（Ⅰ）? f (x) ? 1? cos x ? sin x ? b ? 2 sin( x ? ? ) ? b ?1，-----2 分 4

? 递增区间为???2??

?

3? 4

，2??

?

?4（??? ?

?

?）

……………………6 分

（Ⅱ）? f (x) ? a(sin x ? cos x) ? a ? b ? 2a sin( x ? ? ) ? a ? b 4

而

x

?

?0,?

?,

则x

?

? 4

?

?? ?? 4

,

5? 4

???,?

sin(

x

?

? 4

)

?

? ?? ?

2 2

? ,1?
?

…………8 分

? 2a ? a ? b ? 4

故

? ?

? ?

2a(?

2 ) ? a ? b ? 3, 2

--------10 分

?

?a ?

?

2 ?1

?b ? 3.

18．（本小题满分 12 分）

………………………12 分

证明：（Ⅰ）∵ A1在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上，

∴ A1O ⊥平面 BCD ，又 BC ? 平面 BCD ∴ BC ? A1O ……2 分

又 BC ? CO, A1O ? CO ? O,

∴ BC ? 平面 A1CD ，又 A1D ? 平面A1CD ，∴ BC ? A1D …4 分

（Ⅱ）∵ ABCD 为矩形 ，∴ A1D ? A1B

A1

由（Ⅰ）知 A1D ? BC, A1B ? BC ? B

D

O

C

∴ A1D ? 平面 A1BC ，又 A1D ? 平面 A1BD

∴ 平面 A1BC ? 平面 A1BD

……8A分

B

（Ⅲ）∵ A1D ? 平面 A1BC ，

∴ A1D ? A1C .…10 分

∵ A1D ? 6,CD ? 10 ，

页

5第

∴ A1C ? 8 ，

∴

VC? A1BD

? VD?A1BC

?

1 ? (1 ? 6?8) ? 6 32

?

48 .

…12 分

19．（1）若 a ??0,1, 2, 3? ， b ??0,1, 2, 4? ，共有如下 16 种情况：（0，0），（0，1），

(0,2）,(0,4),(1,0),(1,1),(1,2),(1,4),(2,0)(2,1),(2,2),(2,4),(3,0),(3,1),

(3,2),(3,4)

------2 分

方程 f ( x) ? 0 恰有两个不相等的实根， a ? 0 ， ? ? 0 ，可得 a ? 0 且 b ? a

满足的有（1，2），（1，4），（2，4），（3，4）共 4 种，

------4 分

所以方程 f ( x) ? 0 恰有两个不相等的实根的概率 P ? 4 ? 1 16 4

------6 分

（2）若 a ? ?0, 3? ， b ??0, 2? ，方程 f ( x) ? 0 没有实根 ? ? 0 ， b ? a ，符合几何概型

所以方程

f

(x)

?

0 没有实根的概率

P

?

2?

3?

1 ? 2? 2

2

?

2

2? 3

3

20．（1）使得

f

(

x)在

? ??

1 2

,1???

上为单调减函数,

------12 分

则

f

?( x)

?

3x2

?

2ax

?

3

?

0

在

? ??

1 2

,1???

上恒成立

可得 a ? 3x2 ? 3 ? 3 ( x ? 1 ) ， 2x 2 x

--------2 分

函数 x ? 1 在(0,1)递减，所以当 x ? 1 时 x ? 1 最大值等于 5 ，所以 a ? 15 ----5 分

x

2

x

2

4

（2）函数 f (x) 的图象在 x ? 1处的切线平行于 x 轴，

所以 f ?(1) ? 0 ? 3 ? 2a ? 3 ， a ? 3 。

--------6 分

因为 f ( x) ? f '( x) 所以 x3 ? 3x2 ? 3x ? b ? 3x2 ? 6x ? 3 ，

即 b ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? 3 设 g( x) ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? 3 ， x ? ?1, 4?

g?( x) ? ?3x2 ? 12x ? 9 ? ?3( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ，（1，3）单调递增， （- ? ，1），（3，+ ? ）单调递减；
所以 g( x) ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ? 3 在 x ? ?1, 4? 上的最大值为 g(3) ? 3 ，

所以 b ? 3 ， f (0) ? b ? 3

---------12 分

页

6第

21、解：（I）设椭圆的方程为 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) ，则 e ?

c a

?

2 ①， 2

∵抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点为（0， 1）， ….2 分 ∴ 02 ? 12 ? 1 ② a2 b2

由①②解得 a 2 ? 2, b2 ? 1. ∴椭圆的标准方程为 x 2 ? y 2 ? 1. ……2 分 2
(II)如图，由题意知 l 的斜率存在且不为零， 设 l 方程为 y ? k(x ? 2)(k ? 0) ①，

将①代入 x 2 ? y 2 ? 1，整理，得 2

(2k 2 ? 1)x2 ? 8k 2 ? x ? (8k 2 ? 2) ? 0 ， 由 ? ? 0 得

0? k2 ? 1. 2

k ? (? 2 ,0) ? (0, 2 ) ---- 6 分

2

2

（3）设 E(x1, y1) 、 F(x2 , y2) ，则 ???????x1x1?x2x2??82k2k2k28?2k?2?211,

②令 ? ? S?OBE ， 则 ? ? BE ，

S ?OBF

BF

由此可得 BE ? ? ? BF ， ? ? x1 ? 2 ，且 0 ? ? ? 1
x2 ? 2

-------8 分

( x1

? 2) ? (x2

? 2)

? ?4 1 ? 2k 2

， (x1

? 2) ? (x2

? 2) ?

x1 x2

? 2(x1

?

x2

)

?

4

?

1

?

2 2k

2

.

∴

? (1 ? ?)2

? 2k 2 ? 1 , 即 k 2 ? 4? ? 1 .∵

8

(1 ? ?)2 2

0? k2 ? 1， 2

∴ 0 ? 4? ? 1 ? 1 ，解得 (1 ? ?)2 2 2

3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2.又∵ 0 ? ? ? 1 ，

∴ 3 ? 2 2 ? ? ? 1 ，∴ ? OBE 与 ? OBF 面积之比的取值范围是（ 3 ? 2 2 ， 1）.

-----12 分
22. (1) 即证 AB ? AP ，也即证 ?ABD ? ?ABP 。? ?BAD ? ?PAB ，又 ?ADB ? ?ACB ? ?ABP ， AD AB
即得证。 （2）由（1）可知 AP=40，PD=30，
延长 AO 交圆于 M，交 BC 于 E，可求得 EC=12，BC=24，?由

PC ? PB ? PD ? PA, 即 PC（24+PC）=30×40=1200，即 PC 2 +2h4PC-1200=0

页

7第

PC=-12+8 21 23．（1）直线 l 的方程： ? sin? ? ? cos? ? ?6-------3 分

圆 C 的方程： ? ? 8sin ?

---------5 分

(2)直线 l 与 x 轴交与 A(6, 0), B(0, ?6) , AB ? 6 2 ,圆心到直线 l 的距离为 d ? 5 2 ?ABQ 面积的最小值

= 1 AB (d ? 4) ? 30 ? 12 2 2

---------10 分

24．（1）a=1,即 x ?1 ? 1 ， 解集为（- ?, 1] ? [ 3 ,??)

2

22

（2） ax ?1 ? ax ? a ? ax ?1 ? (ax ? a) ? a ?1 ? 1,?a ? 0 或 a ? 2 .

页

8第