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2020版人教A版数学选修4-5同步配套练习:第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 Word版含解析


第二讲
证明不等式的基本方法

一 比较法
基础巩固

1 设 t=a+2b,s=a+b2+1,则下列 t 与 s 的大小关系正确的是( )

A.t>s 答案:D

B.t≥s

C.t<s D.t≤s

2 已知 a,b 都是正数,P

则 的大小关系是

A.P>Q

B.P<Q

C.P≥Q

D.P≤Q

解析:∵a,b 都是正数,∴P>0,Q>0.

∴P2-Q2

- - ≤0.
∴P2-Q2≤0.∴P≤Q. 答案:D

3 已知 a>0,且 a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则 P,Q 的大小关系是( )

A.P>Q C.P=Q

B.P<Q D.大小不确定

解析:P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=log 当 0<a<1 时,0<a3+1<a2+1,

则0

即P-Q>0.

∴P>Q.

当 a>1 时,a3+1>a2+1>0

∴log

即P-Q>0.∴P>Q.

综上可知,P>Q. 答案:A

4 下列命题:

①当 b>0 时,a>b?

②当 b>0 时,a<b?

③当 a>0,b>0 时

?a>b;

④当 ab>0 时

?a>b.

其中是真命题的为( )

A.①②③

B.①②④

C.④

D.①②③④

答案:A

5 当 x>1 时,x3 与 x2-x+1 的大小关系是

.

解析:∵x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且 x>1, ∴(x-1)(x2+1)>0. ∴x3-(x2-x+1)>0, 即 x3>x2-x+1. 答案:x3>x2-x+1

6 若-1<a<b<0,则

中值最小的是

解析:依题意,知 0

故值最小的是

答案:

7 设 a,b,m 均为正数,且

则 与 的大小关系是

解析:

-

又 a,b,m 均为正数,所以 a(a+m)>0,m>0. 所以 a-b>0,即 a>b. 答案:a>b

8 若 x<y<0,M=(x2+y2)(x-y),N=(x2-y2)·(x+y),则 M,N 的大小关系为

.

解析:M-N=(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y). 因为 x<y<0,所以 xy>0,x-y<0. 所以-2xy(x-y)>0. 所以 M-N>0,即 M>N. 答案:M>N

9 已知 x>-1,求证

≤1

证明:因为 x>-1, 所以 1+x>0


- ≤0,

所以

≤1

10 设 a>0,b>0,且 a≠b,求证:aabb>(a

证明:

--

当 a>b>0 时?a-b>0?

当 b>a>0 时?a-b<0?

-

故总有



-
?
-
?

又(a
能力提升

1 设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( )

A.ab<b2<1 B.l

C.2b<2a<2

D.a2<ab<1

解析:∵0<b<a<1,∴ab>b·b=b2,A 项不正确.

∵0<b<1,0<a<1,∴l

项不正确.由 0<b<a<1,可知 a2>ab,D 项不正

确.故选 C. 答案:C

2 如果 loga3>logb3,且 a+b=1,那么( )

A.0<a<b<1 B.0<b<a<1

C.1<a<b

D.1<b<a

解析:∵a>0,b>0, 又 a+b=1,∴0<a<1,0<b<1.

∴lg a<0,lg b<0.

由 loga3>logb3?

?

?-

?lg b>lg a?b>a. ∴0<a<b<1. 答案:A

3 已知 a>b>0,c>d>0,m

A.m<n

B.m>n

C.m≥n

D.m≤n

解析:∵a>b>0,c>d>0,

∴ac>bd>0

∴m>0,n>0.

∵m2=ac+bd-

n2=ac+bd-(ad+bc),

又 ad+bc≥

当且仅当 ad=bc 时,等号成立,

- - 则 与 的大小关系是

∴-

≥-ad-bc.

∴m2≥n2.∴m≥n.

答案:C

4 设 x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若 x>y,则实数 a,b 应满足的条件



.

解析:若 x>y,则 x-y=a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2>0.

只要 a+2≠0,ab-1≠0 两个中满足一个,即可使得 x>y.

答案:a≠-2 或 ab≠1

5设

a>b>c>0,x

则 的大小关系为
解析:∵a>b>c>0, ∴x>0,y>0,z>0. 而 x2-y2=a2+b2+2bc+c2-(b2+c2+2ac+a2)=2bc-2ac=2c(b-a)<0, ∴x2<y2,即 x<y. 又 y2-z2=b2+(c+a)2-[c2+(a+b)2] =2ac-2ab=2a(c-b)<0, ∴y<z.∴x<y<z. 答案:x<y<z

★ 6 比较大小:log34

log67.

解析:设 log34=a,log67=b,则 3a=4,6b=7,得 7·3a=4·6b=4·2b·3b,即 3a-b

显然b>1,2b>2,则 3a-b

?a-b>0?a>b.

答案:>

7 设 a,b 为非负实数,求证:a3+b3≥ 证明:由 a,b 是非负实数,作差得 a3+b3

当 a≥b时

从而

得 当 a<b时
所以 a3+b3≥

≥0; 从而


8 已知{an}是公比为 q 的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列.
(1)求 q 的值; (2)设{bn}是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的 大小,并说明理由. 解: (1)由题设知 2a3=a1+a2, 即 2a1q2=a1+a1q. ∵a1≠0,∴2q2-q-1=0.
∴q=1 或 q=

(2)若 q=1,则 Sn=2n -
当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1 即 Sn>bn. 若 q= 则Sn=2n - -

当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= - -
故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn>bn; 当 n=10 时,Sn=bn; 当 n≥11 时,Sn<bn.
★ 9 设不等式|2x-1|<1 的解集为 M.
(1)求集合 M; (2)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小. 解: (1)由|2x-1|<1,得-1<2x-1<1, 解得 0<x<1,所以 M={x|0<x<1}. (2)由(1)和 a,b∈M,可知 0<a<1,0<b<1.

所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0. 故 ab+1>a+b.



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