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实变函数习题与解答

发布时间:

实变函数复习范围

1.设

An

? [1 , 2 ? (?1)n ], n n

? 1, 2,

,则(

B



(A) lim An ? [0, 1] n??

(B) lim An ? (0, 1] n??

(C) lim An ? (0, 3] n??

(D) lim An ? (0, 3) n??

2、设 Ai

? {x : ?1 ? 1 ? x ? 1 ? 1},

i

i

i?N,

?



?
i ?1

Ai

=

(

A

)

A、(-1, 1)

B、(-1, 0)

C、[0, 1]

3、设 Ai

? {x : 0 ? x ? 1 ? 1} , i

i?N,

?



?
i ?1

Ai

=

(

B)

A、(0, 1)

B、[0, 1]

C、(0, 1]

4、设 Ai

? {x :1? 1 ? x ? 2 ? 1} ,

i

i

i?N,

?



?
i ?1

Ai

=

(

C

)

A、[1, 2]

B、(1, 2)

C、 (0, 3)

5、设 Ai

? {x : i ? x ? i ? 3}, 2

i?N,

?



?
i ?1

Ai

=

(

C)

A、(-1, 1)

B、[0, 1]

C、? D、{0}

D、[-1, 1] D、(0, + ? ) D、(1, 2]

6、设 Ai

? {x : ? 1 ? x ? 1} ,

i

i

i?N,

?



?
i ?1

Ai

=

(

D)

A、(-1, 1)

B、[0, 1]

C、Φ

D、{0}

7、设

A2n?1

?

[0,2

?

1] 2n ?1

,

A2n

? [0,1 ?

1 ], 2n

n ? N ,则 lim An ? ( C n??

)

A、[0, 2]

B、[0, 2)

C、[0, 1]

D、[0, 1)

8、设

A2n?1

?

[0,2

?

1] 2n ?1

,

A2n

? [0,1 ?

1 ], 2n

n?N ,



lim
n??

An

?(

)

A、[0, 2]

B、[0, 2)

C、[0, 1]

D、[0, 1]

9、设 An ? (0, n) , n ? N , 则 lim An ? ( C ) n??

A、Φ

B、[0, n]

C、R

D、(0, ? )

10、设

An

?

(0, 1 ) , n

n?N ,

则 lim n??

An

? (D

)

A、(0, 1)

B、(0,

1
)

n

C、{0}

D、Φ

11、设

A2n?1

?

(0,

1), n

A2n ? (0, n) , n ? N , 则 lim An ? ( A n??

)

A、Φ

B、(0,

1
)

n

C、(0, n)

D、(0, ? )

12、集合 E 的全体内点所成的集合称为 E 的 ( A )

A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包

13、集合 E 的全体聚点所成的集合称为 E 的 ( C )

A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包

14、集合 E 的全体边界点和内点所成的集合是 E 的 ( D )

A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包

15、E-E'所成的集合是 ( D )

A、开核 B、边界 C、外点 D、{E 的全体孤立点}

16、E 的全体边界点所成的集合称为 E 的 ( B )

A、开核 B、边界 C、导集 D、闭包

17、设点 P 是集合 E 的边界点, 则 (D )

A、P 是 E 的聚点 B、P 是 E 的孤立点 C、P 是 E 的内点 D、P 是 CE 的边界点

18、设 E 是?0,1?上有理点全体,则下列各式不成立的是( D )

o
(A) E' ? [0,1] (B) E ? ? (C) E =[0,1] (D) mE ? 1

?

19、若

{

An

}

是一开集列,则

?
n?1

An

是:(A



A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集

D、无法判断

?

20、若

{

An

}

是一开集列,则

?
n?1

An

是:(

D



A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集

D、无法判断

?

21、若

{

An

}

是一闭集列,则

?
n?1

An

是:(

D



A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集

D、无法判断

?

22、若

{

An

}

是一闭集列,则

?
n?1

An

是:(

B



A、开集 B、闭集 C、既非开集又非闭集

23、下列集合不是可数集的是( C



A. R1中的有理数集 Q

D、无法判断

B. 自然数集 N
C. ?0,1?中的无理数集

D. R1中互不相交的开区间族
24、P 表示康托尔(cantor)集,则 mP=( A ) A、0 B、1 C、2 D、3
25、 集合列{[0, 1], n ? 1, 2,3, }的上限集为 ( C ) n
A [0, 1] B ? C {0} D [0, 1)
26、下列集合不是可数集的是( C )
A. R1中的整数集 Z B. 自然数集 N
C. ?0,1? 中的 Cantor 集

D. R1中互不相交的开区间族

27、G 表示康托尔(cantor)集在[0,1]中的余集,则 mG=( B )

A、0 B、1 C、2 D、3

28、设

E

是[0,1]中的不可测集,

f

( x)

?

? 1, ??? 1,

x?E
则下列函数在[0,1]上可测的是( C
x ?[0,1] ? E

).

A、 f (x) B、 f ? (x) C、| f (x) | D、 f ? (x)

29、若 f (x) 可测,则它必是( D ).

A、连续函数 B、单调函数 C、简单函数 D、简单函数列的极限

30、若 E ? [0,1] ? Q ,则 mE ? ( B )

A、0 B、1 C、2 D、3 31、下列说法不正确的是( A )
A、E 的测度有限,则 E 必有界 B、E 的测度无限,则 E 必无界

C、有界点集的测度有限

D、 R n 的测度无限

32、设

f

(x)

?

? x, ??? x,

x?E

其中 E 是[0,1]的不可测集,则下列函数在[0, 1]可测的是( A

x ?[0,1] ? E

).

A、| f (x) | B、 f (x) C、 f ? (x) D、 f ? (x)

33、设

E

是[0,

1]上的不可测集,

f

(x)

?

? x2

? ??

x

2

x?E

则下列函数在[0, 1]可测的是( C ).

x ?[0,1] ? E

A、 f (x) B、 f ? (x) C、| f (x) | D、 f ? (x)

34、设 E 为可测集,则下列结论中正确的是( D )

A、若{ f n (x)} 在 E 上 a, e 收敛于一个 a, e 有限的可测函数 f (x) ,则 f n (x) 一致收敛于 f (x)

B、若{ f n (x)} 在 E 上 a, e 收敛于一个 a, e 有限的可测函数 f (x) ,则 f n (x) 基本上一致收敛于 f (x)

C、若{ f n (x)} 在 E 上 a, e 收敛于一个 a, e 有限的可测函数 f (x) ,则 f n (x) ? f (x)

D、若{ f n (x)} 在 E 上基本上一致收敛于 f (x) ,则 f n (x) a, e 收敛于 f (x)

35、设

f

(x)

?

?? x3 ,

? ?

x3,

x ? E ,其中 E 是[0, 1]上的不可测集,则( D x ?[0,1] ? E

)在[0, 1]可测.

A、 f (x) 、 B、 f ? (x) C、 f ? (x) D、| f (x) |

36、关于连续函数与可测函数,下列论述中正确的是( C )

A、它们是同一概念

B、a, e 有限的可测函数是连续函数

C、a, e 有限的可测函数是基本上连续的函数 D、a, e 有限的可测函数是 a, e 连续的函数

37、设

f

(x)

?

?? x2 ,

? ?

x2,

x ? E 其中 E 是[0, 1]上的不可测集,则( x ?[0,1] ? E

A

)在[0, 1]上是可测的.

A、| f (x) | B、 f (x)

C、 f ? (x)

D、 f ? (x)

38、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是( C )

A、简单函数一定是可测函数

B、简单函数列的极限是可测函数

C、简单函数与可测函数是同一概念

D、简单函数列的极限与可测函数是同一概念

39、设

E

是[0,

? 2

] 中的不可测集,

f

(x)

?

??sin x, ???? sin x,

( B ).

x?E x ?[0, ? ] ? E
2

则下列函数在[0, ? ] 上可测的是 2

A、 f (x) B、| f (x) | C、 f ? (x) D、 f ? (x)

40、关于依测度收敛,下列说法中不正确的是( C ) A、依测度收敛不一定一致收敛 B、依测度收敛不一定收敛

C、若{ f n (x)} 在 E 上 a.e.收敛于 a.e.有限的可测函数 f (x) ,则 f n (x) ? f (x)

D、若 f n (x) ? f (x) ,则存在子列{ f ni (x)} a. e.收敛于 f (x) 41、设 f (x) 是可测集 E 上的非负可测函数,则 f (x) ( C )

A、必可积 B、必几乎处处有限 C、必积分确定 D、不一定积分确定
42、设 f (x) 在可测集 E 上可积,则在 E 上( B )

A、 f ? (x) 与 f ? (x) 只有一个可积

B、 f ? (x) 与 f ? (x) 皆可积

C、 f ? (x) 与 f ? (x) 不一定可积

D、 f ? (x) 与 f ? (x) 至少有一个不可积

43、设 mE ? 0 ( E ? ? ), f (x) 是 E 上的实函数,则下面叙述正确的是( C )

A、 f (x) 在 E 上不一定可测

B、 f (x) 在 E 上可测但不一定可积

C、 f (x) 在 E 上可积且积分值为 0 D、 f (x) 在 E 上不可积

44、 f (x) 在可测集 E 上 (L) 可积的必要条件是, f (x) 为(D )

A、连续函数 B、几乎处处连续函数

C、单调函数

D、几乎处处有限的可测函数

1
? 45、设 D(x) 为狄立克雷函数,则 (L) D(x)dx ? ( A ) 0

A、 0

B、 1

C、1/2

D、不存在

1
? 46、设 f (x) 为 Cantor 集的特征函数,则 (L) f (x)dx ? ( A ) 0

A、 0

B、 1/3

C 、2/3

D、 1

47、 设 f(x)是[a,b] 上有界变差函数,则下面不成立的是( D )

(A) f (x) 在[a,b] 上有界 (B) f (x) 在[a,b] 上几乎处处存在导数
b
? (C) f ' (x) 在[a,b] 上 L 可积 (D) f '(x)dx ? f (b) ? f (a) a 48、设{En} 是一列可测集, E1 ? E2 ? ? ? En ? ?,且 mE1 ? ?? ,则有( A )

(A)

m?? ?

?
?
n?1

E

n

?? ?

?

lim
n??

mE n

(B)

m?? ?

?
?
n?1

En

?? ?

?

lim
n??

mE

n

(C)

m?? ?

?
?
n?1

En

?? ?

?

lim
n??

mE

n

;(D)以上都不对

49、设 f(x)是[a,b] 上绝对连续函数,则下面不成立的是( B )

(A) f (x) 在[a,b] 上的一致连续函数 (B) f (x) 在[a,b] 上处处可导

(C) f (x) 在[a,b] 上 L 可积

(D) f (x) 是有界变差函数

二 填空题
1、设 A 为一集合,B 是 A 的所有子集构成的集合;若 A =n, 则 B = 2n

2、设 A 为一集合,B 是 A 的所有子集构成的集合;若 A 是一可数集, 则 B = c

3、若 A ? c , B ? c , 则 A ? B ?

c

4、若 A ? c , B 是一可数集, 则 A ? B ? c

5、若 A ? c , B ? n , 则 A ? B ? c

?

6、若{An } 是一集合列, 且 An ? c ,

?
n?1

An

?

c

7、设{S

i

}

是一列递增的可测集合,则

m(lim n??

Sn

)

?

__

lim
n??

mSn

______。

8、[a, b]上的连续函数及单调函数都是___可测函数_____。

9、叶果洛夫定理反映了___点态收敛____与__一致收敛______的关系。

?

?

10、 m * (? Ai ) ? ? m * Ai 称为测度的____次可数可加性____

i ?1

i ?1

11、可测集 E ? Rn 上的连续函数都是__可测函数______。

12、可测函数列的极限是____可测函数____。

13、鲁金定理反映了___可测函数___与__连续函数____的关系。

14、设{Si } 是一列递减可测集合,且 ?k ,

mE k

?

?

,则

m(lim n??

Sn

)

?

_

lim
n??

mSn

________。

15、L 可测集和波雷尔集相差一个____零测集____。

16、设 f (x) 在可测集 E 上可积,则 mE[ f ? ?] ?( 0 )

? 17、(叙述积分的绝对连续性)设 f (x) 在 E 上可积,则对任何可测集 A ? E ,有 lim f (x)dx ?( 0 ) mA?0 A

? 18、设 P0 为 Cantor 集,则

sin xdx ? (
P0

0



? 19、设 P0 为 Cantor 集,则

cos xdx ? (
P0

0)

? 20、设 Q 为有理数集,则 e xdx ? ( Q

0)

? 21、设 N 为自然数集,则 ln xdx ? ( N
三、判断题 1、任意集合都有子集 。
2、 E 的孤立点必然属于 E. ( √ )

0) (√ )

3、 lim An ? {x |当 n 充分大以后都有 x ? An}. . ( √ ) n??

4、

若 mE ? ??,且 fn ?

f

, lim n??

fn (x)

?

f (x)

a, e 于 E(

×



5、 若 ?r ? Q, E( f ? r) 都可测,则 f 在可测集 E 上也可测. ( √ )

6、函数 f (x) 在 E 上可测,当且仅当对于每一个实数 a ,集合 E( f ? a) 可测. ( × )

7、若 mE ? 0 ,则 E 一定是可数集( × )

8、设 M 是 Rn 中的紧集,则 M 是 Rn 中的有界闭集. ( √ ) 9、凡博雷尔集都是 L 可测集.. (√ ) 10、连续函数一定是有界变差函数. ( × )

11、若 f (x) 在可测集 E 上可测,则 E( f ? ??) 也可测。( √ )

12、若 mE ? ??,且 fn ?

f

, lim n??

fn (x)

?

f (x)

a, e 于 E(

×



13、设 S1, S2 都可测,则 S1 ? S2 也可测,且 m(S1 ? S2 ) ? mS1 ? mS 2 。( × )

14、若 f (x) 在可测集 E 上可测,则 f (x) 在 E 的任意可测子集上也可测( √ )。

15、无限集的外测度一定不为零。( × ) 16、若 f (x) 在可测集 E 上可测,则 f (x) 在 E 的任意子集上可测(

×)

17、若可测集 A 是可测集 B 的子集,且 mB ? mA ,则 m(B ? A) ? 0 ( × )

18、若 ?r ? Q, E( f ? r) 都可测,则 f 在可测集 E 上也可测( √ )

19、若 E 可测,A 可测,且 m( A ? E) ? 0 ,则 mE ? m(E ? A) 。( √ )

四 计算题

? 1 , 当x为有理数时

? 1、设 f (x) ? ? x
? x,

当x为无理数时 ,计算 [0,1] f (x)dx 。

? 2、设

f

(x)

?

??e x2 , ??? e x ,

当x为有理数时 ,计算 f (x)dx 。

当x为无理数时

[0,1]

? 3、设

f

(x)

?

?c os x, ??sin x,

当x为有理数时

,计算
当x为无理数时

[0,1]

f

(x)dx



? 4、设

P0



Cantor

集,

f

(x)

?

?x 2 ,

? ?

x,

当x ? P0时 ,计算 f (x)dx 。

当x ?[0,1] ? P0时

[0,1]

? 5、设

P0



Cantor

集,

f

(x)

?

??e x2 ,

? ??

e

x

,

当x ? P0时 ,计算 f (x)dx 。

当x ?[0,1] ? P0时

[0,1]

? ?cos x,
6、设 P0 为 Cantor 集, f (x) ? ??sin x,

当x ? P0时 当x ?[0,1] ? P0时

,计算

f (x)dx 。
[0,1]

? 7、求 lim (R) n??

1 nx
0 1?n2 x2

sin 5

nxdx 。

? 8、求 lim (R) n??

1 nx1 / 2 0 1?n2 x2

sin

nxdx



? 9、求 lim (R) n??

1 nx
0 1?n2 x2

cos 2

nxdx 。

? 10、求 lim (R) n??

1 nx2 / 3 0 1?n2 x2

cos nxdx 。

? 11、求 lim (R) n??

1 n2x 0 1?n4 x2

(sin

nx

?

cos 2

nx)dx



? 12、求 lim (R) n??

1 n3x3 / 2 0 1?n4 x2

dx 。

1、解:因为有理数集的测度为 0, 故在[0,1] 上几乎处处有 f (x) ? x

这样利用积分的性质得:

? ? ? f (x)dx ?
[0,1]

xdx =
[0,1]

1
xdx
0

?

1 2

x2

|10 ?

1 2



2、解:因为有理数集的测度为 0, 故在[0,1] 上几乎处处有 f (x) ? e x

这样利用积分的性质得:

? ? ? f (x)dx ?
[0,1]

exdx =
[0,1]

1e xdx
0

?

ex

|10 ?

e ?1。

3、解:因为有理数集的测度为 0, 故在[0,1] 上几乎处处有

f (x) ? sin x 。

这样利用积分的性质得:

? ? ? f (x)dx ?
[0,1]

sin xdx =
[0,1]

1 0

sin

xdx

?

?

cos

x

|10

?

1

?

cos1。

4、解:因为 mP0 ? 0 , 故在[0,1] 上几乎处处有 f (x) ? x
这样利用积分的性质得:

? ? ? f (x)dx ?
[0,1]

xdx =
[0,1]

1
xdx
0

?

1 2

x2

|10 ?

1 2



5、解:因为 mP0 ? 0 , 故在[0,1] 上几乎处处有 f (x) ? e x
这样利用积分的性质得:

? ? ? f (x)dx ?
[0,1]

exdx =
[0,1]

1e xdx
0

?

ex

|10

?

e

?1。

6、解:因为 mP0 ? 0 ,故在[0,1] 上几乎处处有 f (x) ? sin x 。
这样利用积分的性质得:

? ? ? f (x)dx ?
[0,1]

sin xdx =
[0,1]

1 0

sin

xdx

?

?

cos

x

|10

?

1

?

cos1。

7、解:令

fn (x)

?

nx 1? n2 x 2

sin 5

nx ,则 lim n???

fn (x)

?

0。



fn (x) ?

nx 1?n2 x2

?

nx 2nx

?

1 2



故由 Lebesgue 控制收敛定理得:

? lim (R)
n ??

1 nx
0 1?n2 x2

sin 5

nxdx

?

0



8、解:令

fn (x)

?

nx1 / 2 1? n2 x 2

sin nx ,则 lim n???

fn (x)

?

0。



fn (x) ?

nx1 / 2 1?n2 x2

? nx1 / 2 2nx

? 1 ,且函数 1 在[0,1] 上 L 可积。

2x

2x

故由 Lebesgue 控制收敛定理得:

? lim (R)
n??

1 nx1 / 2 0 1?n2 x2

sin nxdx

?

0。

9、解:令

fn (x)

?

nx 1? n2 x 2

cos2

nx ,则 lim n???

fn (x)

?

0。



fn (x) ?

nx 1?n2 x2

?

nx 2nx

?

1 2



故由 Lebesgue 控制收敛定理得:

? lim (R)
n??

1 nx
0 1?n2 x2

cos 2

nxdx

?

0



10、解:令

fn (x)

?

nx2 / 3 1? n2 x 2

cosnx ,则 lim n???

fn (x)

?

0。



fn (x) ?

nx2 / 3 1?n2 x2

? nx2 / 3 2nx

? x ?1/ 3 ,且函数 x?1/ 3 在[0,1] 上 L 可积。

故由 Lebesgue 控制收敛定理得:

? lim (R)
n??

1 nx2 / 3 0 1?n2 x2

cos nxdx

?

0。

11、解:令

fn (x)

?

n2x 1? n 4 x 2

(sin nx

?

cos2

nx)

,则 lim n???

fn (x)

?

0





fn (x)

?

n2x 1?n4 x2

? ? n2x 2n2x

1。
2

故由 Lebesgue 控制收敛定理得:

? lim (R)
n??

1 n2x 0 1?n4 x2

(sin

nx

?

cos 2

nx)dx

?

0



12、解:令

fn (x)

?

n3x3 / 2 1? n4 x 2

,则 lim n???

fn (x)

?

0。



fn (x) ?

n3x3 / 2 n4x2

? x ?1/ 2 。

故由 Lebesgue 控制收敛定理得:

? lim (R)
n??

1 n3x3 / 2 0 1?n4 x2

dx

?

0。

? 13、求 lim ? ln(x ? n)e?x cos xdx

n0

n

解:设

fn (x)

?

ln(x ? n

n)

e?x

cos

x

,则易知当

n

?

?

时,

fn (x)

?

0

又因

? ??

ln t t

'
? ??

?

1? ln t t2

?

0 ,( t

?

3 ),所以当

n

?

3,

x

?

0 时,

ln(x ? n) n

?

n? n

x

ln(x ? n) x?n

?

n? n

x

ln 3 3

?

ln 3 (1? 3

x)

从而使得 |

fn (x) |?

ln 3 (1? 3

x)e? x

但是不等式右边的函数,在?0, ??? 上是 L 可积的,故有

?

?

? ? lim n

0

fn (x)dx ?

0

lim n

f

n

(

x)dx

?

0

五 证明题

1. 证明:A 为可数集,B 为至多可数集,则 A ? B 是可数集. 证明:因 A 可数,所以可设 A={a1,a2,…,an,…}, 又 B 至多可数,设 B={b1,b2,…,bn}(当 B 有限时),或 B={b1,b2,?,bn,?}(当 B 可数时) 当 B 有限时,

A ? B ? ?b1,b2 ,?,bn ; a1, a2 ,?, an ,??
当 B 可数时,

A ? B ? ?b1, a1, b2 , a2 ?, bn ; an ,??
所以 A? B 可数.

2、证明由直线上互不相交的开区间作为集 A 的元素,则 A 至多为可数集

证明:在每个区间中取一有理数与这个区间对应,则不同的区间对应不同的有理数,故 A 与有理数的子集 对等。

而有理数集是可列的,所以 A 是至多可列的
3、证明:可数点集的外测度为零

证明:设 E ? {r1, r2 ,?, rn ,?},?? ? 0

? ? ?
| Ii
i ?1

|?

? i ?1

? 2i

??

令 Ii

? (ri ?

? 2i?1

? ri ?

?) 2i?1

? 则 mIi

?

? 2i

?
,且 E ? Ii
i ?1

?
由 m * E 的定义知 m * E ? ?| Ii | ? ? 故有 m* E ? 0
i ?1

4、证明:若 m* E ? 0 ,则 E 可测. 证明:①若 E 有界,则 0 ? m*E ? m * E ? 0 , 从而 m*E ? m * E ,即 E 可测
?
②若 E 无界,则存在互不相交的有界集列{En} ,使 E ? ? En 。
n?1
而每个 En ? E ,且 m* E ? 0 ,所以 mEn ? m * En ? 0 ,
?
因 mE ? ? mEn ? 0 ,所以 E 是可测的。
n?1
5 、 设 f (x) 在 E 上 积 分 确 定 , 且 f ( x)? g( x) a.于e E , 则 g(x) 在 E 上 也 积 分 确 定 , 且

?E f (x)dx ??E g(x)dx
证明: f (x) ? g(x)a.e 于 E

? m E[ f? g]? 0

? ? ?

f ( x) d ?x

g( )x ?d x 0

E[ f? g]

E[? f ]g

? ? ? ? f (x)dx ?

f (x)dx ?

f (x)dx

E

E[ f ?g]

E[ f ?g]

? ? ? ?

g( x) d ?x

g( )x ?d x (g ) x d x

E[ f? g]

E[? f ]g

E

f (x) 在 E 上积分确定,? g(x) 在 E 上也积分确定,且 ?E f (x)dx ??E g(x)dx

6、在?a,b?上的任一有界变差函数 f (x) 都可以表示为两个增函数之差

x
易知 g(x) ?V ( f ) 是?a,b?上的增函数 a

令 h(x) ? g(x) ? f (x) , 则对于 a ? x1 ? x2 ? b 有

h(x2 ) ? h(x1) ? g(x2 ) ? g(x1) ?[ f (x2 ) ? f (x1)]

x2

?V( x1

f

) ?[

f

(x2 ) ?

f

(x1)] ?|

f

(x2 ) ?

f

(x1) |

?[

f

(x2) ?

f

(x1)] ?

0

所以 h(x) 是?a,b?上的增函数

因此 f (x) ? g(x) ? h(x) ,其中 g(x) 与 h(x) 均为?a,b?上的有限增函数

7.设 E ? Rn ,若对任意的 ? ? 0 ,存在开集 G ? E ,使 m?(G ? E) ? ? ,则 E 是可测集.

证明:

?n ,由条件存在开集 Gn ? E,

s.t

m* (Gn

?

E)

?

1 n

?
令 G ? Gn 则 G ? E 且是可测集
n?1

又因为

m* (G

?

E)

?

m* (Gn

?

E)

?

1 n

(?n)

所以 m*(G ? E) ? 0 ,即M=G-E是零测度集,故也可测

于是由 E ? G ? (G ? E) 知 E 可测

8. 设 f (x) 是 E ? [a,b] 上 a.e.有限的可测函数,则对于任何 ? ? 0 及 ? ? 0 ,存在连续函数 g(x) ,使 m(E[| f ? g |? ? ]) ? ? .
证明:设 f (x) 是 E 上 a, e 有限的可测函数,由鲁金定理得,f (x) 在 E 上基本连续,即对 ?? ? 0 存在 E? ? E ,
及连续函数 g 满足
(1) m(E ? E? ) ? ? (2) f (x) ? g(x), x ? E
于是对 ?? ? 0, E(| f ? g |? ? ) ? E( f ? g) ? E ? E? ,所以
mE (| f ? g |? ? ) ? m(E ? E? ) ? ? .

9、设 f (x) 是 E 上 a.e. 有限的函数,若对任意? ? 0 ,存在闭子集 F? ? E ,使 f (x) 在 F? 上连续,且

m(E ? F? ) ? ? ,证明: f (x) 是 E 上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)

证明: ?n ?

N,

存在闭集

Fn

?

E, m ? E

?

Fn

?

?

1 2n

,

f

(x)



Fn

连续

??

?

令F

?

k ?1 n?k

Fn

,则 ?x ? F

? ?k, x ? ? n?k

Fn,?n ?

k, x ? Fn

?

f

(x) 在

F

连续

?

?

又对任意

k

,

m

?

E

?

F

?

?

m[E

?

(? n?k

Fn

)]

?

m[ ? n?k

(E

?

Fn

)]

? ?

? n?k

m(E

?

Fn )

?

1 2k

故 m(E ? F) ? 0, f (x) 在 F ? E 连续

又 m(E ? F) ? 0, 所以 f (x) 是 E ? F 上的可测函数,从而是 E 上的 可测函数。



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