您现在的位置:首页 > >

2020版人教A版数学选修4-5同步配套__第四讲 用数学归纳法证明第四讲检测


第四讲检测
(时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)

1 用数学归纳法证明当 n∈N+时,1+2+22+…+25n-1 是 31 的倍数时,当 n=1 时原式为

()

A.1

B.1+2

C.1+2+3+4 D.1+2+22+23+24

解析:当 n=1 时,应为 1+2+…+25×1-1=1+2+22+23+24.

答案:D

2 从一楼到二楼的楼梯共有 n 级台阶,每步只能跨上 1 级或 2 级,走完这 n 级台阶共有
f(n)种走法,则下面的猜想正确的是( ) A.f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n≥3) B.f(n)=2f(n-1)(n≥2) C.f(n)=2f(n-1)-1(n≥2) D.f(n)=f(n-1)f(n-2)(n≥3)

解析:分别取 n=1,2,3,4 验证,得 f(n)

-

-

答案:A

3 用数学归纳法证明:cos α+cos 3α+…+cos(2n-1)α

当 n=1 时,等式右边的式子是( )

A.sin α

B.sin 2α

≠0,n∈N+),在验证

C.cos α

D

答案:C

4 利用数学归纳法证明:

……-

A.1

B.2

C.3

D.4

- 时 的最小值 应为

解析:∵2n-2>0,∴n>1.∴n 的最小值 n0=2,此时,原不等式为 答案:B

成立.故选 B.

5 下列说法中正确的是( )
A.若一个关于正整数 n 的命题当 n=1,2 时为真,则此命题为真命题 B.若一个关于正整数 n 的命题当 n=k(k∈N+)时成立且推得 n=k+1 时也成立,则这个命题 为真命题 C.若一个关于正整数 n 的命题当 n=1,2 时为真,则当 n=3 时这个命题也为真 D.若一个关于正整数 n 的命题当 n=1 时为真,n=k(k∈N+)时为真能推得 n=k+1 时亦为真, 则此命题为真命题 解析:由完全归纳法可知,只有当 n 的初始取值成立且由 n=k 成立能推得 n=k+1 时也成 立时,才可以证明结论正确,二者缺一不可.A,B,C 项均不全面. 答案:D
6 若命题 A(n)(n∈N+)在 n=k(k∈N+)时成立,则有 n=k+1 时命题也成立.现知命题对
n=n0(n0∈N+)时成立,则有( ) A.命题对所有正整数都成立 B.命题对小于 n0 的正整数不成立,对大于或等于 n0 的正整数都成立 C.命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定,对大于或等于 n0 的正整数都成立 D.以上说法都不正确 解析:数学归纳法证明的结论只是对 n 的初始值及后面的正整数成立,而对于初始值前 的正整数不一定成立. 答案:C
7 用数学归纳法证明:“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程中,第二步当 n=k 时等
式成立,则当 n=k+1 时应得到( ) A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1 C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1 D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1 解析:由条件知,左边是从 20,21 一直到 2n-1 连续相加的,因此当 n=k+1 时,左边应为 1+2+22+…+2k-1+2k,而右边应为 2k+1-1. 答案:D
8 用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”时,第二步正确的证
明方法是( )

A.假设当 n=k(k∈N+)时成立,证明当 n=k+1 时命题也成立 B.假设当 n=k(k 是正奇数)时成立,证明当 n=k+1 时命题也成立 C.假设当 n=2k+1(k∈N+)时成立,证明当 n=2k+3 时命题也成立 D.假设当 n=2k-1(k∈N+)时成立,证明当 n=2k+1 时命题也成立 解析:假设的 n 的取值必须取到初始值 1,且后面的 n 的值比前面的值大 2. 答案:D

9 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+)时,从 k 到 k+1,左

边需要增加的代数式为( )

A.2k+1

B.2(2k+1)

C

解析:当 n=k 时左边的最后一项是 2k,n=k+1 时左边的最后一项是 2k+2,而左边各项都 是连续的,所以 n=k+1 时比 n=k 时左边少了(k+1),而多了(2k+1)(2k+2).因此增加的代数

式是

答案:B

10 已知 f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N+,都能使 m 整除 f(n),则最

大的 m 的值为( )

A.30

B.26

C.36

D.6

解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,f(1),f(2),f(3)能被 36 整除,∴猜想 f(n)能

被 36 整除.

当 n=1,2 时,由上得证.

假设当 n=k(k≥2)时,f(k)=(2k+7)·3k+9 能被 36 整除,则当 n=k+1 时,

f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k

=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2).

故 f(k+1)能被 36 整除.

∵f(1)不能被大于 36 的数整除,

∴所求最大的 m 值等于 36.

答案:C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)

11 已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明:1



时 若已假设当

≥2 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证

明当 n=

时等式成立.

解析:∵n=k 为偶数,∴下一个偶数为 n=k+2.

答案:k+2

12 已知 1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N+都成立,那么

a=

,b=

,c=

.

解析:取 n=1,2,3,得

-

解得 a

答案:

13 用数学归纳法证明:“n3+5n(n∈N+)能被 6 整除” 的过程中,当 n=k+1 时,对式子

(k+1)3+5(k+1)应变形为

.

解析:首先必须应用归纳假设,然后采用配凑法.

答案:(k3+5k)+3k(k+1)+6

14 设 f(n)

用数学归纳法证明: ≥3.在“假设当

n=k 时成立”后,f(k+1)与 f(k)的关系是 f(k+1)=f(k)· .

解析:当 n=k 时,f(k)

当 n=k+1 时,f(k+1)

所以 f(k)应乘

答案:

15 用数学归纳法证明:

∈N+),假设当 n=k 时,不

等式成立,则当 n=k+1 时,应推证的目标



.

解析:注意不等式两边含变量“n”的式子,因此当 n=k+1 时,应该是含“n”的式子发生变化,

所以 n=k+1 时,应为

答案:

三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16(8 分)求数列

的前 项和
-

解:S1

S2

S3 ……

由以上计算可猜想数列的前 n 项和 Sn

-

下面用数学归纳法证明此等式对任何 n∈N+都成立.

证明:(1)当 n=1 时,左边

右边

等式成立.

(2)假设当 n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立, 即

则当 n=k+1 时,

故当 n=k+1 时,等式成立,

即 Sn

-

根据(1)(2)知,等式对于任何 n∈N+都成立.

17(8 分)设{xn}是由 x1=2,xn+1

∈N+)定义的数列,求证:xn

证明:由题意可知 xk+1

xn 显然成立.

下面用数学归纳法证明 xn

(1)当 n=1 时,x1=2

不等式成立.

(2)假设当 n=k(k≥1)时,不等式成立,即 xk

则当n=k+1 时,xk+1

由归纳假设,知 xk



∵xk

∴xk+1 即 xk+1

∴当 n=k+1 时,不等式 xn

成立.

由(1)(2)可知,xn

∈N+).

18(9 分)若 n∈N+,求证:2!·4!·6!·…·(2n)!≥[(n+1)!]n.
证明:(1)当 n=1 时,左边=2!=2,右边=(2!)1=2,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N+,k≥1)时,不等式成立,即 2!·4!·6!·…·(2k)!≥[(k+1)!]k 成立, 则当 n=k+1 时,2!·4!·6!·…·(2k)!·(2k+2)!≥[(k+1)!]k·(2k+2)!, 其中(2k+2)!=(2k+2)(2k+1)…(k+3)·[(k+2)!]. ∵k+3>k+2,k+4>k+2,…,2k+2>k+2, ∴(2k+2)!>(k+2)k·(k+2)!. 上面不等式对 k≥1 都成立, ∴2!·4!·6!·…·(2k)!·(2k+2)!

≥[(k+1)!]k·(2k+2)! >[(k+1)!]k·(k+2)k·(k+2)! =[(k+2)!]k·(k+2)!=[(k+2)!]k+1. ∴当 n=k+1 时,不等式成立. 由(1)(2)知,所证不等式对一切 n∈N+都成立.
19(10 分)若不等


对一切正整数 都成立 求正整数 的最大值 并证明你的结论

证明:当 n=1时



∵a∈N+,∴取 a=25. 下面用数学归纳法证明:

(1)当 n=1 时,已证. (2)假设当 n=k(k∈N+,k≥1)时,

则当 n=k+1 时,有 …

由(1)(2)可知,对一切 n∈N+,都有 故 a 的最大值为 25.

也成立.

20(10 分)已知点列 An(xn,0),x1=0,x2=a(a>0),A3 是线段 A1A2 的中点,A4 是线段 A2A3 的中 点,……,An 是线段 An-2An-1 的中点. (1)写出 xn 与 xn-1,xn-2(n≥3)之间的关系; (2)记 an=xn+1-xn,求 an. 解: (1)当 n≥3 时,xn - -
(2)a1=x2-x1=a,
a2=x3-x2

a3=x4-x3

……

-
猜想 an -

∈N+).

下面证明猜想. ①当 n=1 时,猜想成立. ②假设当 n=k 时,猜想成立,

-
即 ak 那么当 n=k+1 时,

ak+1=xk+2-xk+1

即当 n=k+1 时猜想也成立.
-
由①②可知,对 n∈N+总有 an -



友情链接: 幼儿教育 小学教案 初中教案 高中教案 职业教育 成人教育