2019版3年高考2年模拟专题攻略高考文科数学二轮复习课标版第六讲 三角恒等变换与解三角形_图文

栏目索引 高考导航 第六讲 三角恒等变换与解三角形 考情分析 栏目索引 高考导航 总纲目录 总纲目录 栏目索引 考点一 考点二 三角恒等变换及求值 高考导航 正、余弦定理在解三角形中的应用 考点三 正、余弦定理的实际应用 考点聚焦 栏目索引 考点一 三角恒等变换及求值 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; (2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β; (3)tan(α±β)=?tan α ? tan β . 1 tan α tan β 高考导航 考点聚焦 栏目索引 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α; (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)tan 2α=?1?2 ttaannα2α. . 3.辅助角公式 asin x+bcos x=?a2 ? b2 sin(x+φ)???? 其中tan φ ? b a ???. 高考导航 考点聚焦 栏目索引 (2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=?43 ,cos(α+高β考)=导-航?55 . (1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 解析 (1)因为tan α=?4 ,tan α=?sin α , 3 cos α 所以sin α=?4 cos α. 3 因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=?9 , 25 所以cos 2α=2cos2α-1=-?7 . 25 (2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=-?5 , 5 所以sin(α+β)=?1? cos2(α ? β) =?2 5 , 5 因此tan(α+β)=-2. 考点聚焦 栏目索引 高考导航 因为tan α=?4 , 3 所以tan 2α=?12?ttaannα2α =-?24 . 7 因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)] =?tan 2α ? tan(α ? β) =-?2 . 1? tan 2α tan(α ? β) 11 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 栏目索引 方法归纳 三角恒等变换的“4大策略” 高考导航 (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等; (2)项的分拆与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α -β)+β等; (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; (4)弦、切互化:一般是切化弦. [提醒] 要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用. 考点聚焦 栏目索引 1.(2018课标全国Ⅱ,15,5分)已知tan????α ? 5? 4 ? ?? =?1 ,则高ta考n导α航= 5 . 答案 解析 ?3 ? 2 tan???? α ? 5? 4 ? ?? tan α ? tan 5? = 1 ? tan α tan 4 5? =?tan α ?1 1? tan α =?15 , 4 解得tan α=?3 . 2 考点聚焦 栏目索引 2.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的 非负半轴重合,它的终边过点P???? ? 53 , ? 4 5 ???. (1)求sin(α+π)的值; 高考导航 (2)若角β满足sin(α+β)=?5 ,求cos β的值. 13 考点聚焦 栏目索引 解析 (1)由角α的终边过点P???? ? 53 , ? 4 5 ? ?? 得sin α=-?4 , 5 所以sin(α+π)=-sin α=?4 . 5 高考导航 (2)由角α的终边过点P???? ? 53 , ? 4 5 ???得cos α=-?3 , 5 由sin(α+β)=?5 得cos(α+β)=±?12 . 13 13 由β=(α+β)-α得 cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-?56 或cos β=?16 . 65 65 考点聚焦 栏目索引 考点二 正、余弦定理在解三角形中的应用 1.正弦定理及其变形 高考导航 在△ABC中,?a =?b =?c =2R(R为△ABC的外接圆半径).变 sin A sin B sin C 形:a=2Rsin A,sin A=?a ,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C等. 2R 2.余弦定理及其变形 在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A. 变形:cos A=?b2 ? c2 ? a2 . 2bc 3.三角形面积公式 S△ABC=?12 absin C=?1 bcsin 2 A=?1 acsin 2 B. 考点聚焦 栏目索引 高考导航 考点聚焦 栏目索引 命题角度一:求解三角形中的角 高考导航 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos C+bsin C =a. (1)求角B的大小; 1 (2)若BC边上的高等于?4 a,求cos A的值. 考点聚焦 栏目索引 解析 (1)由bcos C+bsin C=a, 得sin Bcos C+sin Bsin C=sin A. 因为A+B+C=π, 高考导航 所以sin Bcos C+sin Bsin C=sin(B+C), 即sin Bcos C+sin BsinC=sin Bcos C+cos Bsin C, 因为C∈(0,π),所以sin C≠0, 所以sin B=cos B. 因为B∈(0,π),所以B=?? . 4 (2)设BC边上的高为AD,则AD=?1