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2019-2020年高考数学总复习13.2.2不等式的证明演练提升同步测评文新人教B版


2019-2020 年高考数学总复习 13.2.2 不等式的证明演练提升同步测评文

新人教 B 版

1.已知 x+y=1,求 2x2+3y2 的最小值.

【解析】 由柯西不等式(2x2+3y2)·?????? 12???2+??? 13???2???≥???

2x· 1 + 2

3y· 13???2=(x

+y)2=1,

∴2x2+3y2≥65,当且仅当 2x=3y,即 x=35,y=25时,等号成立.所以 2x2+3y2 的最小

值为65.

2.(xx·吉林实验中学模拟)设函数 f(x)=|x-a|.

(1)当 a=2 时,解不等式 f(x)≥4-|x-1|;

(2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2],1m+21n=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥4.

【解析】 (1)当 a=2 时,不等式为|x-2|+|x-1|≥4,

①当 x≥2 时,不等式可化为 x-2+x-1≥4,解得 x≥72;

②当12<x<72时,不等式可化为 2-x+x-1≥4,不等式的解集为?;

③当 x≤12时,不等式可化为 2-x+1-x≥4,解得 x≤-12.

综上可得,不等式的解集为???-∞,-12???∪???72,+∞???. (2)证明 ∵f(x)≤1,即|x-a|≤1,

解得 a-1≤x≤a+1,而 f(x)≤1 的解集是[0,2],

∴???a-1=0,解得 a=1, ??a+1=2,
所以1m+21n=1(m>0,n>0),

所以 m+2n=(m+2n)???1m+21n???

=2+2mn+2mn≥2+2

2mn·2mn=4,

当且仅当 m=2,n=1 时取等号.

3.(xx·徐州模拟)设 a、b、c 是正实数,且 a+b+c=9,求2a+2b+2c的最小值.

【解析】 ∵(a+b+c)???2a+2b+2c???

=[( a)2+( b)2+( c)2]·?????? 2a???2+??? b2???2+??? 2c???2???

≥??? a· 2a+ b· 2b+ c· 2c???2=18.

222

222

∴a+b+c≥2.∴a+b+c的最小值为 2.

4.设 x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z= 14,求 x+y+z. 【解析】 由柯西不等式可得(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2,即(x+2y+3z)2

≤14,因此 x+2y+3z≤ 14.因为 x+2y+3z= 14,所以 x=y2=z3,解得 x= 1144,y= 714,

z=3 1414,于是 x+y+z=3 714. 5.(xx·南京、盐城联考)已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c.求证:b+ac2-a+c+ba2-b
+a+cb2-c≥a+b+c. 【证明】 因为???b+ac2-a+c+ba2-b+a+cb2-c???[(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)]≥
(a+b+c)2, 又 a+b+c>0, 所以b+ac2-a+c+ba2-b+a+cb2-c≥a+b+c(当且仅当b+ac-a=c+ba-b=a+cb-c时

取等号). 6.(xx·苏州模拟)已知 a,b,c∈R,且 2a+2b+c=8,求(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2
的最小值. 【解析】 由柯西不等式得 (4+4+1)×[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥[2(a-1)+2(b+2)+c-3]2, ∴9[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥(2a+2b+c-1)2. ∵2a+2b+c=8, ∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2≥499, 当且仅当a-2 1=b+2 2=c-3 时等号成立,

∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2 的最小值是499.

B 组 专项能力提升 (时间:40 分钟)
7.(xx·课标全国Ⅱ)已知函数 f(x)=???x-12???+???x+12???,M 为不等式 f(x)<2 的解集. (1)求 M; (2)证明:当 a,b∈M 时,|a+b|<|1+ab|.
?-2x,x≤-12, ?? 【解析】 (1)f(x)= 1,-12<x<12,
??2x,x≥12.
当 x≤-12时,由 f(x)<2,得-2x<2,解得 x>-1, 即-1<x≤-12; 当-12<x<12时,f(x)=1<2,即-12<x<12; 当 x≥12时,由 f(x)<2,得 2x<2,解得 x<1, 即12≤x<1. 所以 f(x)<2 的解集 M={x|-1<x<1}. (2)证明 由(1)知,当 a,b∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2= a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0. 因此|a+b|<|1+ab|. 8.(xx·黑龙江哈尔滨三中第二次检测)已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=2. (1)求证:ab+bc+ac≤43; (2)若 a,b,c 都小于 1,求 a2+b2+c2 的取值范围. 【解析】 (1)证明 ∵a+b+c=2,∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4,∴2a2+2b2+2c2 +4ab+4bc+4ca=8, ∴8=2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ca≥6ab+6bc+6ac,当且仅当 a=b=c 时取等号, ∴ab+bc+ac≤43. (2)∵a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=4, ∴4≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2=3(a2+b2+c2),当且仅当 a=b=c 时取等号,

∴a2+b2+c2≥43. ∵0<a<1,∴a>a2.同理 b>b2,c>c2. ∴a2+b2+c2<a+b+c=2,∴43≤a2+b2+c2<2, ∴a2+b2+c2 的取值范围为???43,2???. 9.(xx·锦州一模)(1)关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集不是空集,求 a 的取
值范围; (2)设 x,y,z∈R,且1x62 +y52+z42=1,求 x+y+z 的取值范围. 【解析】 (1)∵|x-3|+|x-4|≥|(x-3)-(x-4)|=1, 且|x-3|+|x-4|<a 的解集不是空集, ∴a>1,即 a 的取值范围是(1,+∞). (2)由柯西不等式,得
[42+( 5)2+22]·??????x4???2+??? y5???2+???z2???2??? ≥???4×x4+ 5× y5+2×z2???2 =(x+y+z)2, 即 25×1≥(x+y+z)2. ∴5≥|x+y+z|,∴-5≤x+y+z≤5. ∴x+y+z 的取值范围是[-5,5]. 10.(xx·南京模拟)已知 a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞). (1)求xa1+xb2+x21x2的最小值; (2)求证:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2. 【解析】 (1)因为 a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞),

所以xa1+xb2+x12x2≥3· 3 xa1·xb2·x21x2

3 =3·

a2b≥3·

3

???a+22b???2=3×3 8=6,

当且仅当xa1=xb2=x12x2且 a=b,即 a=b=12且 x1=x2=1 时,xa1+xb2+x21x2有最小值 6.

方法二 因为 a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞), 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1) =a2x1x2+abx22+abx21+b2x1x2 =x1x2(a2+b2)+ab(x22+x21) ≥x1x2(a2+b2)+ab(2x1x2) =x1x2(a2+b2+2ab) =x1x2(a+b)2 =x1x2, 当且仅当 x1=x2 时,取得等号. 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.



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