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2020版人教A版数学选修4-5同步配套__第二讲 证明不等式的基本2.2


二 综合法与分析法
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典例透析

1.理解综合法和分析法的概念. 2.掌握综合法和分析法的证明过程.

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1.综合法 一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过
一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法, 又叫顺推证法或由因导果法.

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典例透析

【做一做 1】 若 a<b<0,则下列不等式中成立的是( )

A.

1

<

1

C.b+

1

>



+

1

B.



+

1

>



+

1

D.



<

+1 +1

解析:∵a<b<0,∴

1

>

1

,

故选项A,B

错误,而选项

C

正确.选项

D

中,取

b=-1,则

+1 +1

=

0,





>

0,

故选项D

错误.

答案:C

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2.分析法 证明命题时,我们还常常从要证的结论出发,逐步寻求使它成立 的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定 义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这 种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.

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【做一做2-1】 分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的
() A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A

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【做一做2-2】 当x>1时,不等式 x+ 1-1≥a 恒成立,则实数a的 取值范围是( )

A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,3]

解析:要使

x+

1-1≥a

恒成立,只需

f(x)=x+

1 -1

的最小值大于等于a 即可.

∵x>1,∴x+

1 -1

=



?

1

+

1 -1

+

1≥2

(-1)·1-1 + 1 = 3,

当且仅当 x=2 时,等号成立.

∴f(x)的最小值为 3.∴a≤3.

答案:D

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1.如何理解综合法证明不等式 剖析:(1)证明的特点. 综合法又叫顺推证法或由因导果法,是由已知条件和某些数学定
义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推出所要证明的 结论成立.
(2)证明的框图表示. 用P表示已知条件或已有的不等式,用Q表示所要证明的结论,则 综合法可用框图表示为
P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q

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(3)证明的主要依据.

①a-b>0?a>b,a-b=0?a=b,a-b<0?a<b;

②不等式的性质;

③几个重要不等式:

a2≥0(a∈R),a2+b2≥2ab(a,b∈R),

+ 2



( > 0, > 0).

名师点拨 使用综合法时要防止因果关系不清晰,逻辑表达混乱等 现象.

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2.如何理解分析法证明不等式 剖析:(1)证明的特点. 分析法又叫逆推证法或执果索因法,须从证明的不等式出发,逐 步寻找使它成立的充分条件.直到最后把要证明的不等式转化为判 定一个明显成立的不等式为止. (2)证明的框图表示. 用Q表示要证明的不等式,则分析法可用框图表示为
得到一个明显成立的不等式←…←P3?P2←P2?P1←P1?Q

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典例透析

3.综合法和分析法的优点 剖析:综合法的优点是结构整齐,而分析法更容易找到证明不等 式的突破口,所以通常是用分析法找思路,用综合法写步骤. 名师点拨 用分析法证明不等式是“逆求”,而不是逆推,即寻找的 是充分条件,而不是必要条件.

题型一 题型二 题型三

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题型一 利用综合法证明不等式

【例 1】 已知 a,b>0,且 a+b=1,求证:



+

1

2
+



+

1

2 ≥ 225.

分析:本题中条件a+b=1是解题的重点,由基本不等式的知识联 想知应由重要不等式来变形出要证明的结论;本题a+b=1,也可以视 为是“1”的代换问题.

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题型一 题型二 题型三

证法一:不等式左边 =



+

1

2
+



+

1

2

=a2+b2+4+

1 2

+

1 2

=4+a2+b2+

(+)2 2

+

(+)2 2

=4+a2+b2+1+

2

+

2 2

+

2 2

+

2

+

1

=4+(a2+b2)+2+2



+



+

2 2

+

2 2

≥4+

(+)2 2

+

2

+

2

×

2



·

+

2

·

·

=4+

1 2

+

2

+

4

+

2

=

225,

当且仅当

a=b=

1 2

时,等号成立.

故原不等式成立.

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题型一 题型二 题型三

证法二:∵a,b>0,且 a+b=1,

∴ab≤

+ 2

2 = 14,

当且仅当

a=b=

1 2

时,等号成立.∴

=4+(a2+b2)+

1 2

+

1 2

=4+[(a+b)2-2ab]+

(+)2-2 22



+

1

2
+



+

1

2

=4+(1-2ab)+

1-2 22

≥4+

1-2

×

1 4

+

1-2×

1 4

12

=

25 2

.



4



+

1

2
+



+

1

2 ≥ 225.

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反思 1.利用综合法证明不等式,揭示了条件和结论之间的因果

联系,为此要着力分析已知与求证之间的差异与联系,合理进行转换,

恰当地选择已知条件,这是证明的关键.

2.利用综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要是重要不等

式,其中常用的有如下几个:

(1)a2≥0(a∈R).

(2)(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形

有:a2+b2≥2ab,

+ 2

2≥ab,a2+b2≥12 ( + )2.

(3)若

a,b

为正实数,则

+ 2



.

特别地,



+

≥2.

(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

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题型一 题型二 题型三
【变式训练 1】 已知 a+b+c=1,求证:ab+bc+ca≤13. 证明:∵a+b+c=1, ∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, ∴将以上三个不等式相加, 得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca). ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca. ∴1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca).
∴ab+bc+ca≤13.

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题型二 利用分析法证明不等式

【例 2】

已知

a>b>0,求证:

(-)2 8

<

+ 2

?

< (8-)2.

分析:本题要证明的不等式较为复杂,由a>b>0不容易得到要证 明的不等式,因而可以用分析法先变形要证明的不等式,从中找到 证题的线索.

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证明:要证原不等式成立,

只需证

(-)2 4

<



+



?

2

< (4-)2,

即证

- 2

2
<(

?

)2 <

- 2

2
.

只需证

- 2

<

?

< 2-,



+ 2 < 1 <

+ , 即 2

< 1 <

.

只需证



<

1

<

.

∵a>b>0,∴



<

1

<



成立.

∴原不等式成立.

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反思 利用分析法证明的格式是固定化的,但是每一步都是上一步 的充分条件,即每一步的变化都是在这个要求之下一步一步去寻找 成立的条件或结论、定理.

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【变式训练 2】 已知 a>0,b>0,2c>a+b,求证:c? 2- < <

+ 2-.

证明:要证 c? 2- < < + 2-,
即要证 ? 2- < ? < 2-,即要证|a-c|< 2-, 即要证(a-c)2<c2-ab,即要证 a2-2ac<-ab. ∵a>0,∴只要证 a-2c<-b,即要证 a+b<2c,由已知条件知,上式显 然成立. ∴原不等式成立.

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题型三

易错辨析

易错点 证明过程不严谨,利用分析法不全面

【例

3】



x,y

都是正数,求证:

1 2

(

+

)2

+

1 4

(

+

)





+

.

错解:原不等式?2(x+y)2+(x+y)≥4 +

4 ?(x+y)[2(x+y)+1]≥2 (2 + 2 ).

∵x+y≥2



>

0,



1 2

(

+

)2

+

1 4

(

+

)





+

.

错因分析:对于 2(x+y)+1≥2 + 2 没有给出证明,只证明

了 x+y≥2 . 此题要证的式子较为复杂,所以用分析法分析可以将

问题化简.

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典例透析

正解:原不等式?2(x+y)2+(x+y)≥4 + 4

?(x+y)[2(x+y)+1]≥2 (2 + 2 ).

∵x+y≥2 > 0,

∴只需证 2(x+y)+1≥2 + 2 ,

即证



+

1 4

+



+

1 4



+

,



x+

1 4



2

4

=

,



+

1 4



2

4

=

,

∴原不等式成立.



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