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广东省广州市增城市小楼中学2015-2016学年八年级上学期期中考试数学试题(解析版)


2015-2016 学年广东省广州市增城市小楼中学八年级(上)期中
数学试卷
一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.如图所示,图中不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

2.下列各组数中,能构成三角形的是( ) A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.12,5,5
3.下列几种说法:①全等三角形的对应边相等;②面积相等的两个三角形全等;③周长 相等的两个三角形全等;④全等的两个三角形的面积相等.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④
4.一个多边形的内角和与外角和相等,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形
5.在△ ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,则 BC 的长是( ) A.5 B.6 C.8 D.10
6.在平面直角坐标系中,点(5,6)关于 x 轴的对称点是( ) A.(6,5) B.(﹣5,6) C.(5,﹣6) D.(﹣5,﹣6)
7.如图,已知 AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定 △ ADF≌△CBE 的是( )

A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC

8.如图,在 Rt△ ACB 中,∠ACB=90°,∠A=25°,D 是 AB 上一点.将 Rt△ ABC 沿 CD 折

叠,使 B 点落在 AC 边上的 B′处,则∠ADB′等于(

)

A.25° B.30° C.35° D.40°
9.如图,△ ABC 中边 AB 的垂直平分线分别交 BC,AB 于点 D,E,AE=3cm,△ ADC 的 周长为 9cm,则△ ABC 的周长是( )

A.10cmB.12cm C.15cm D.17cm

10.如图,∠DAE=∠ADE=15°,DE∥AB,DF⊥AB,若 AE=8,则 DF 等于(

)

A.5 B.4 C.3 D.2
二.填空题(每题 3 分,共 18 分) 11.如图,若 AC⊥BC,∠A=58°,D 是 CB 延长线上的一点.则∠ABD=__________°.

12.如图,已知 AB=BD 那么添加一个条件__________后,可判定△ ABC≌△ADC.

13.已知点 A(a,5)与点 B(3,b)关于 y 轴对称,则 a+b=__________. 14.等腰三角形的一边是 2cm,另一边是 9cm,则这个三角形的周长是__________cm. 15.如图,△ ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,∠AFD=158°,则∠EDF 等于__________度.
16.如图,已知等边△ ABC 中,BD=CE,AD 与 BE 相交于点 P,则∠APE 的度数是__________ 度.
三、解答题(本大题共 10 题,共 102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.如图,在△ ABC 中,∠B=60°,∠C=40°,AD 是△ ABC 的角平分线,求∠CAD 的度数.
18.如图,AC=BD 且∠A=∠B,求证:AO=BO.

19.如图,利用尺规求作所有点 P,使点 P 同时满足下列两个条件:①点 P 到 A,B 两点 的距离相等;②点 P 到直线 l1,l2 的距离相等.(要求保留作图痕迹,不必写出作法)
20.如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE 交 AB 于 E.求证:△ CEB 是等腰三角形.
21.如图,在平面直角坐标系中 (1)写出 A,B,C 三点的坐标; (2)在图中作出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1B1C1,并写出点 A1,B1,C1 的坐标(直接写 答案); (3)求△ ABC 的面积.
22.如图,在△ ABC 中,∠1=∠2,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E、F.求证: ∠B=∠C.

23.已知:如图,AB=AC,点 D 是 BC 的中点,AB 平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为 E. (1)求证:AD=AE. (2)若 BE∥AC,试判断△ ABC 的形状,并说明理由.
24.(14 分)如图,△ ABC 中,AD⊥BC,点 E 在 AC 的垂直平分线上,且 BD=DE. (1)如果∠BAE=40°,那么∠B=__________°,∠C=__________°; (2)如果△ ABC 的周长为 13cm,AC=6cm,那么△ ABE 的周长=__________cm; (3)你发现线段 AB 与 BD 的和等于图中哪条线段的长,并证明你的结论.
25.(14 分)在等边三角形 ABC 中,点 E 在 AB 上,点 D 在 CB 的延长线上,且 AE=BD, (1)当点 E 为 AB 的中点时,如图 1,求证:EC=ED; (2)当点 E 不是 AB 的中点时,如图 2,过点 E 作 EF∥BC,求证:△ AEF 是等边三角形; (3)在第(2)小题的条件下,EC 与 ED 还相等吗,请说明理由.

2015-2016 学年广东省广州市增城市小楼中学八年级 (上)期中数学试卷

一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.如图所示,图中不是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】轴对称图形. 【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互 相重合,那么这个图形叫做轴对称图形.据此对图中的图形进行判断. 【解答】解:A、有四条对称轴,是轴对称图形,故本选项错误; B、有三条对称轴,是轴对称图形,故本选项错误; C、不是轴对称图形,因为找不到任何这样的一条直线,使它沿这条直线折叠后,直线两旁 的部分能够重合,即不满足轴对称图形的定义,故本选项正确; D、有二条对称轴,是轴对称图形,故本选项错误. 故选 C. 【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠 后可重合.

2.下列各组数中,能构成三角形的是( ) A.1,2,4 B.4,5,9 C.4,6,8 D.12,5,5 【考点】三角形三边关系. 【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”对各选项进行进 行逐一分析即可. 【解答】解:A、1+2<4,不能组成三角形,故此选项错误; B、4+5=9,不能组成三角形,故此选项错误; C、4+6>8,能够组成三角形,故此选项正确; D、5+5<12,不能组成三角形,故此选项错误. 故选:C. 【点评】此题主要考查了三角形三边关系,判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个 数的和是否大于第三个数.

3.下列几种说法:①全等三角形的对应边相等;②面积相等的两个三角形全等;③周长 相等的两个三角形全等;④全等的两个三角形的面积相等.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【考点】全等三角形的性质. 【分析】根据全等三角形的性质对各小题分析判断即可得解. 【解答】解:①全等三角形的对应边相等,正确; ②面积相等的两个三角形全等,错误;

③周长相等的两个三角形全等,错误; ④全等的两个三角形的面积相等,正确; 综上所述,正确的是①④. 故选 D. 【点评】本题考查了全等三角形的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.
4.一个多边形的内角和与外角和相等,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 【考点】多边形内角与外角. 【分析】首先设此多边形是 n 边形,由多边形的外角和为 360°,即可得方程 180(n﹣2)=360, 解此方程即可求得答案. 【解答】解:设此多边形是 n 边形, ∵多边形的外角和为 360°, ∴180(n﹣2)=360, 解得:n=4. ∴这个多边形是四边形. 故选 A. 【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.此题难度不大,注意多边形的外角和 为 360°,n 边形的内角和等于 180°(n﹣2).
5.在△ ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=10,则 BC 的长是( ) A.5 B.6 C.8 D.10 【考点】含 30 度角的直角三角形.
【分析】根据含 30 度角的直角三角形性质得出 BC= AB,代入求出即可.
【解答】解:
∵在△ ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,
∴BC= AB,
∵AB=10, ∴BC=5, 故选 A. 【点评】本题考查了含 30 度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用,注意:在直 角三角形中,如果有一个角是 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
6.在平面直角坐标系中,点(5,6)关于 x 轴的对称点是( ) A.(6,5) B.(﹣5,6) C.(5,﹣6) D.(﹣5,﹣6) 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数即可直接写出答 案. 【解答】解:点(5,6)关于 x 轴的对称点(5,﹣6). 故选:C.

【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标特点,关键是掌握点的变化规律.
7.如图,已知 AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定 △ ADF≌△CBE 的是( )

A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC 【考点】全等三角形的判定. 【分析】求出 AF=CE,再根据全等三角形的判定定理判断即可. 【解答】解:∵AE=CF, ∴AE+EF=CF+EF, ∴AF=CE, A、∵在△ ADF 和△ CBE 中

∴△ADF≌△CBE(ASA),正确,故本选项错误; B、根据 AD=CB,AF=CE,∠AFD=∠CEB 不能推出△ ADF≌△CBE,错误,故本选项正 确; C、∵在△ ADF 和△ CBE 中

∴△ADF≌△CBE(SAS),正确,故本选项错误; D、∵AD∥BC, ∴∠A=∠C, ∵在△ ADF 和△ CBE 中

∴△ADF≌△CBE(ASA),正确,故本选项错误; 故选 B. 【点评】本题考查了平行线性质,全等三角形的判定的应用,注意:全等三角形的判定定理 有 SAS,ASA,AAS,SSS.

8.如图,在 Rt△ ACB 中,∠ACB=90°,∠A=25°,D 是 AB 上一点.将 Rt△ ABC 沿 CD 折

叠,使 B 点落在 AC 边上的 B′处,则∠ADB′等于(

)

A.25° B.30° C.35° D.40° 【考点】翻折变换(折叠问题). 【专题】压轴题. 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B 的度数,再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D 的度数,再由三角形外角的性质即可得出结论. 【解答】解:∵在 Rt△ ACB 中,∠ACB=90°,∠A=25°, ∴∠B=90°﹣25°=65°, ∵△CDB′由△ CDB 反折而成, ∴∠CB′D=∠B=65°, ∵∠CB′D 是△ AB′D 的外角, ∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°. 故选 D. 【点评】本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质,熟知图形反折不变性的性质是 解答此题的关键.
9.如图,△ ABC 中边 AB 的垂直平分线分别交 BC,AB 于点 D,E,AE=3cm,△ ADC 的 周长为 9cm,则△ ABC 的周长是( )

A.10cmB.12cm C.15cm D.17cm 【考点】线段垂直平分线的性质. 【分析】求△ ABC 的周长,已经知道 AE=3cm,则知道 AB=6cm,只需求得 BC+AC 即可, 根据线段垂直平分线的性质得 AD=BD,于是 BC+AC 等于△ ADC 的周长,答案可得. 【解答】解:∵AB 的垂直平分 AB, ∴AE=BE,BD=AD, ∵AE=3cm,△ ADC 的周长为 9cm, ∴△ABC 的周长是 9+2×3=15cm, 故选:C. 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端 点的距离相等.对线段进行等效转移时解答本题的关键.

10.如图,∠DAE=∠ADE=15°,DE∥AB,DF⊥AB,若 AE=8,则 DF 等于(

)

A.5 B.4 C.3 D.2 【考点】三角形的外角性质;角平分线的性质;直角三角形斜边上的中线. 【分析】过 D 作 DG⊥AC 于 G,根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求 出∠DEG=30°,再根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出 DG 的长度是 4, 又 DE∥AB,所以∠BAD=∠ADE,所以 AD 是∠BAC 的平分线,根据角平分线上的点到角 的两边的距离相等,得 DF=DG. 【解答】解:如图,∵∠DAE=∠ADE=15°, ∴∠DEG=∠DAE+∠ADE=15°+15°=30°, DE=AE=8, 过 D 作 DG⊥AC 于 G, 则 DG= DE= ×8=4, ∵DE∥AB, ∴∠BAD=∠ADE, ∴∠BAD=∠CAD, ∵DF⊥AB,DG⊥AC, ∴DF=DG=4. 故选:B.
【点评】本题主要考查三角形的外角性质,直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半 的性质,平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟练掌握性质是解 题的关键.
二.填空题(每题 3 分,共 18 分) 11.如图,若 AC⊥BC,∠A=58°,D 是 CB 延长线上的一点.则∠ABD=148°.
【考点】三角形的外角性质.

【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ABD=90°+58°=148°. 【解答】解:∵AC⊥BC, ∴∠C=90°, ∵∠A=58°, ∴∠ABD=90°+58°=148°, 故答案为:148. 【点评】此题主要考查了三角形的外角性质,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和.
12.如图,已知 AB=BD 那么添加一个条件 BC=CD 后,可判定△ ABC≌△ADC.
【考点】全等三角形的判定. 【分析】条件是 BC=DC,根据 SSS 推出即可,此题是一道开放型的题目,答案不唯一. 【解答】解:条件是 BC=DC, 理由是:∵在△ ABC 和△ ADC 中
∴△ABC≌△ADC(SSS), 故答案为:BC=CD. 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用,注意:全等三角形的判定定理有 SAS, ASA,AAS,SSS.
13.已知点 A(a,5)与点 B(3,b)关于 y 轴对称,则 a+b=2. 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【专题】常规题型. 【分析】根据关于 y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数求出 a、b 的值,然后代 入代数式进行计算即可得解. 【解答】解:∵点 A(a,5)与点 B(3,b)关于 y 轴对称, ∴a=﹣3,b=5, ∴a+b=﹣3+5=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐 标规律: (1)关于 x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数; (2)关于 y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数; (3)关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.

14.等腰三角形的一边是 2cm,另一边是 9cm,则这个三角形的周长是 20cm. 【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系. 【分析】本题可先根据三角形三边关系,确定等腰三角形的腰和底的长,然后再计算三角形 的周长. 【解答】解:当腰长为 4 时,则三角形的三边长为:2、2、9; ∵2+2<9, ∴不能构成三角形; 因此这个等腰三角形的腰长为 9,则其周长=9+9+2=20. 故答案为:20. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;对于已知没有明确腰和底边的 题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答, 这点非常重要,也是解题的关键.
15.如图,△ ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,∠AFD=158°,则∠EDF 等于 68 度.
【考点】三角形的外角性质;三角形内角和定理. 【分析】由图可知,∠EDF=∠FDB﹣∠EDB=90°﹣∠EDB,而∠EDB 与∠B 互余,∠CFD 与∠C 互余,∠B=∠C,则∠BDE=∠CFD,由邻补角定义知∠CFD=180°﹣∠AFD,从而求 出∠EDF 的度数. 【解答】解:∵∠B=∠C, ∴∠BDE=∠CFD=180°﹣158°=22°, ∵FD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E, ∴∠EDF=∠C=90°﹣22°=68°. 故答案为:68. 【点评】本题中可简单的利用同角的余角相等这一性质解题. 垂直和直角总是联系在一起.
16.如图,已知等边△ ABC 中,BD=CE,AD 与 BE 相交于点 P,则∠APE 的度数是 60 度.
【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质. 【专题】几何图形问题.

【分析】根据题目已知条件可证△ ABD≌△BCE,再利用全等三角形的性质及三角形外角 和定理求解. 【解答】解:∵等边△ ABC, ∴∠ABD=∠C,AB=BC,

在△ ABD 与△ BCE 中,



∴△ABD≌△BCE(SAS), ∴∠BAD=∠CBE, ∵∠ABE+∠EBC=60°, ∴∠ABE+∠BAD=60°, ∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°, ∴∠APE=60°. 故答案为:60.

【点评】本题利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件,是中考的热点.
三、解答题(本大题共 10 题,共 102 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.如图,在△ ABC 中,∠B=60°,∠C=40°,AD 是△ ABC 的角平分线,求∠CAD 的度数.

【考点】三角形内角和定理. 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数,再根据角平分线的性质即可得出结 论. 【解答】解:∵在△ ABC 中,∠B=60°,∠C=40°, ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°, ∵AD 是△ ABC 的角平分线,
∴∠CAD= ∠BAC= ×80°=40°.
【点评】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形的内角和是 180°是解答此题的关键.
18.如图,AC=BD 且∠A=∠B,求证:AO=BO.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】根据 AAS 推出△ AOC≌△BOD,根据全等三角形性质推出即可. 【解答】证明:∵在△ AOC 和△ BOD 中
∴△AOC≌△BOD(AAS), ∴AO=BO. 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,注意:全等三角形的对应边相等. 19.如图,利用尺规求作所有点 P,使点 P 同时满足下列两个条件:①点 P 到 A,B 两点 的距离相等;②点 P 到直线 l1,l2 的距离相等.(要求保留作图痕迹,不必写出作法)
【考点】角平分线的性质;线段垂直平分线的性质. 【专题】作图题. 【分析】作 AB 的垂直平分线和∠AOB 及其补角的角平分线,它们的交点 P1,P2. 【解答】解:如图,
点 P1,P2 为所作. 【点评】本题考查了角平分线和线段的垂直平分线的判定与性质:到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上;到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 20.如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE 交 AB 于 E.求证:△ CEB 是等腰三角形.

【考点】等腰三角形的判定. 【专题】证明题. 【分析】由线的平行可得角相等,进行角的等量代换后再由两角相等确定等腰三角形. 【解答】证明:∵CE∥DA, ∴∠A=∠CEB. 又∵∠A=∠B, ∴∠CEB=∠B. ∴CE=CB. ∴△CEB 是等腰三角形. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及判定;进行角的等量代换是正确解答本题的关键.
21.如图,在平面直角坐标系中 (1)写出 A,B,C 三点的坐标; (2)在图中作出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1B1C1,并写出点 A1,B1,C1 的坐标(直接写 答案); (3)求△ ABC 的面积.
【考点】作图-轴对称变换. 【分析】(1)结合平面直角坐标系写出 A,B,C 三点的坐标即可,注意横坐标在前,纵坐 标在后; (2)首先确定 A、B、C 三点对称点坐标,再连接即可; (3)利用矩形面积,减去周围多于三角形的面积即可. 【解答】解:(1)A(﹣3,2),B(﹣4,﹣3),C(﹣1,﹣1);
(2)如图所示:
(3)△ ABC 的面积:3×5﹣ ×1×5﹣ ×2×3﹣ ×3×2=6.5.

【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换,关键是正确确定对称点的位置.
22.如图,在△ ABC 中,∠1=∠2,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E、F.求证: ∠B=∠C.
【考点】全等三角形的判定与性质. 【专题】证明题. 【分析】首先证明△ AED≌△AFD,得出 DE=DF,然后再证明△ BDE≌△CDF,从而求出 ∠B=∠C. 【解答】证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠DEA=∠DFA, 在 Rt△ AED 和 Rt△ AFD 中,

∴△AED≌△AFD(AAS), ∴DE=DF, 在 Rt△ BDE 和 Rt△ CDF 中,
, ∴Rt△ BDE≌Rt△ CDF(HL), ∴∠B=∠C. 【点评】题目考查了全等三角形的判定与性质,在求解过程中,使用了两种方法证明三角形 全等,题目整体难易程度适中,适合学生课后训练.
23.已知:如图,AB=AC,点 D 是 BC 的中点,AB 平分∠DAE,AE⊥BE,垂足为 E. (1)求证:AD=AE.

(2)若 BE∥AC,试判断△ ABC 的形状,并说明理由.

【考点】等边三角形的判定;全等三角形的判定与性质. 【专题】应用题. 【分析】(1)由边角关系求证△ ADB≌△AEB 即可; (2)由题中条件可得∠BAC=60°,进而可得△ ABC 为等边三角形. 【解答】(1)证明:∵AB=AC,点 D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC, ∴∠ADB=90°, ∵AE⊥AB, ∴∠E=90°=∠ADB, ∵AB 平分∠DAE, ∴∠1=∠2,

在△ ADB 和△ AEB 中,



∴△ADB≌△AEB(AAS), ∴AD=AE;

(2)△ ABC 是等边三角形.理由: ∵BE∥AC, ∴∠EAC=90°, ∵AB=AC,点 D 是 BC 的中点, ∴∠1=∠2=∠3=30°, ∴∠BAC=∠1+∠3=60°, ∴△ABC 是等边三角形.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题,能够熟练掌 握.
24.(14 分)如图,△ ABC 中,AD⊥BC,点 E 在 AC 的垂直平分线上,且 BD=DE. (1)如果∠BAE=40°,那么∠B=70°,∠C=35°; (2)如果△ ABC 的周长为 13cm,AC=6cm,那么△ ABE 的周长=7cm; (3)你发现线段 AB 与 BD 的和等于图中哪条线段的长,并证明你的结论.

【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质. 【分析】(1)根据垂直平分线的性质得出 AB=AE,从而得出角之间的关系 ∠ABE=∠AEB=2∠C,代数求解即可; (2)通过线段的等量代换即可求解; (3)由 AD⊥BC,BD=DE,点 E 在 AC 的垂直平分线上,根据线段垂直平分线的性质,可 得 AE=EC,AB=AE,继而证得 AB+BD=AE+DE=DC. 【解答】(1)解:∵点 E 在 AC 的垂直平分线上, ∴AE=EC. ∵BD=DE,AD⊥BC, ∴AB=AE. ∴∠ABE=∠AEB=2∠C=(180°﹣40°)÷2=140°÷2=70°,∠C=35°. 故答案为:70,35;
(2)解:∵△ABC 的周长为 13cm,AC=6cm, ∴AB+BC=13﹣6=7, ∴△ABE 的周长=AB+BC=7cm. 故答案为:7;
(3)AB+BD=DC. 证明:∵AD⊥BC,BD=DE, ∴AB=AE,BD=DE, ∵点 E 在 AC 的垂直平分线上, ∴AE=CE, ∴AB+BD=AE+DE=DC. 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、含 30°角的直角三角形的性质以及等边三角形 的判定与性质.此题难度适中,注意掌握转化思想与数形结合思想的应用.
25.(14 分)在等边三角形 ABC 中,点 E 在 AB 上,点 D 在 CB 的延长线上,且 AE=BD, (1)当点 E 为 AB 的中点时,如图 1,求证:EC=ED; (2)当点 E 不是 AB 的中点时,如图 2,过点 E 作 EF∥BC,求证:△ AEF 是等边三角形; (3)在第(2)小题的条件下,EC 与 ED 还相等吗,请说明理由.

【考点】等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质. 【分析】(1)根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB=30°,∠ABC=60°,根据 AE=EB=BD,可得∠ECB= ∠ACB=30°,∠EDB=∠DEB= ∠ACB=30°,根据等角对等边 即可证得结论; (2)根据平行线的性质证得∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠C=60°,即可证得结论; (3)先求得 BE=FC,然后证得△ DBE≌△EFC 即可; 【解答】证明:(1)如图 1,在等边△ ABC 中,AB=BC=AC, ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°, ∵AE=EB=BD, ∴∠ECB= ∠ACB=30°,∠EDB=∠DEB= ∠ACB=30°, ∴∠EDB=∠ECB, ∴EC=ED;
(2)如图 2,∵EF∥BC, ∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠C=60°, ∴△AEF 为等边三角形;
(3)EC=ED; 理由:∵∠AEF=∠ABC=60°, ∴∠EFC=∠DBE=120°, ∵AB=AC,AE=AF, ∴AB﹣AE=AC﹣AF,即 BE=FC, 在△ DBE 和△ EFC 中,

∴△DBE≌△EFC(SAS), ∴ED=EC.
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质性质,平行线的性质,三角形全等的判定和性 质,熟练掌握性质和定理是解题的关键.



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