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2011年全国卷2高考理科数学试题word版

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2011 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修 II)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
注意事项:
1.答题前, 考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓 名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名 和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题上作答无效。 ........ 3.第 I 卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 (1)复数 z =1+ i , z 为 z 的共轭复数,则 z z - z -1= (A)-2 i (B)- i (C) i (D)2 i

(2)函数 y = 2 x ( x ≥0)的反函数为
x (A) y = ( x ∈R) 4
2

x (B) y = ( x ≥0) 4

2

(C ) y = 4 x 2 ( x ∈R )

( D) y = 4 x 2 ( x ≥ 0 )

(3)下面四个条件中,使 a > b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a > b +1 (B) a > b -1 (C ) a 2 > b 2 ( D) a 3 > b 3

(4)设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 = 1 ,公差 d = 2, S k + 2 ? S k = 24 ,则 k
= (A ) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 (5) 设函数 f ( x ) = cos ω x (ω > 0 ) , y = f ( x ) 的图像向右平移 将

π
个单位长度后,
3

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所得的图像与原图像重合,则 ω 的最小值等于
1 (B)3 ( C )6 (D)9 3 (6)已知直二面角 α –ι- β, 点 A∈α ,AC ⊥ ι ,C 为垂足,B∈β,BD⊥ ι, D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于( )

(A)

(A)

2 3

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

(7) 某中学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位 朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( ) (A)4 种 (B) 10 种 (C) 18 种 (D)20 种

(8)曲线 y = e 积为
1 (A) 3

?2 x

+ 1 在点(0,2)处的切线与直线 y = 0 和 y = x 围成的三角形的面

1 (B) 2

2 (C) 3

(D )1

5 f (? ) = 2 (9)设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x) = 2 x(1 ? x ) ,则 1 (A ) 2 ? 1 (B ) 4 ? 1 (C ) 4 1 (D) 2

(10)已知抛物线 C:
cos<AFB=(
4 (A) 5

y2

=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则

)
3 (B) 5 3 (C).— 5 4 (D) — 5

(11)已知平面α截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 成 60 二面角的平面β截该 ) 球面得 N。若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4л,则圆 N 的面积为( (A) .7л (B). 9л (C). 11л (D). 13л
1 0 a b=? a, b, c 满足 a = b = 1 , 2 , a ? c, b ? c = 60 ,则 c 的最大值 (12)设向量

等于(

) (B) 3
(C) 2 (D)1

(A)2 注意事项:

1.答题前, 考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己凡人名 字、准考证号填写清楚,然后贴好条形码,请认真核条形码上凡人准考证号、姓

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名和科目。 2.第Ⅱ卷共 2 页, 请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答,在试题卷上作答无效。 在试题卷上作答无效 ......... 3.第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横 线上。 (注意:在试题卷上作答无效) ......... (13)(1x )
20 9

的二项展开式中,x 的系数与 x 的系数之差为

____________________. (14)已知 α ∈ ( , π ) ,sin α = 2

π

5 ,则 tan2 α =______________ 5

(15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:

x2 y 2 ? = 1 的左、右焦点,点 A ∈ C ,点 9 27

M 的坐标为(2,0) ,AM 为∠F1AF2 的平分线,则 AF2 ______________ (16)已知 E、F 分别在正方形 ABCD、A1B1C1D1 楞 BB1,CC1 上,且 B1F=2EB, CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于_______________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... △ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A-C=90°,a+c= 2b , 求 C. (18) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但 不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种概率; (Ⅱ)X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求 X 的期望.

(19) (本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意:在试题卷上作答无效)

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如图,棱锥 S ? ABCD 中, AB ∥ CD , BC ⊥ CD ,侧面 SAB 为等边三角形,
AB = BC =2, CD = SD =1。

(I)证明: SD ⊥平面 SAB ; (II)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。

(20) (本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) ( 注意:在试题卷上作答无效) 设数列{an } 满足 a1 = 0 且
1 1 ? = 1。 1 ? an + 1 1 ? an

(I)求 {an } 的通项公式; (II)设 bn =
1 ? an +1 n

,记 S n = ∑ bk ,证明: S n < 1 。
k =1

n

(21) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上答无效) ........ 已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C: x 2 +
y2 = 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 2

F 且斜率为- 2 的直线 l 与 C 交于 A、 两点, P 满足 B 点
(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上;

.

(Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上。 (22) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上答无效) ........ (Ⅰ)设函数 f ( x) = ln(1 + x) ?
2x ,证明:当 x >0 时, f ( x) >0; x+2
9 ) 10

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方 式连续抽取 20 次,设抽得的 20 个号码互补相同的概率为 p .证明: p <(
19



1 . e2

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