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2020版人教A版数学选修4-5同步配套__第二讲 证明不等式的基本2.3


三 反证法与放缩法
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典例透析

1.掌握反证法和放缩法的依据. 2.会利用反证法和放缩法证明有关不等式.

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典例透析

1.反证法 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公
理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或 已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明
假设不正确,从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法 为反证法.

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典例透析

【做一做1-1】 否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,应假设
() A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是偶数 C.a,b,c中至少有两个偶数 D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 答案:D

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【做一做1-2】 要证明“a,b至少有一个为正数”,用反证法假设应



.

答案:a,b全为非正数

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2.放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简 化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法. 归纳总结 放缩法的常用技巧:舍去或加进一些代数式,放大或缩小 分子或分母,运用重要不等式,利用函数的单调性、值域等.

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【做一做 2】

A=1+

1 2

+

1 3

+

?

+

1与


(∈N+)的大小关系



.

解析:A=

1 1

+

1 2

+

1 3

+

?

+

1



1

+

1

+



+

1

=

n n

=

共 项

n.

答案:A≥

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1

2

1.反证法中的数学语言 剖析:反证法适宜证明“存在性问题,唯一性问题”,带有“至少有
一个”或“至多有一个”等字样的问题,直接证明有困难时,常采用反 证法.下面我们列举以下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应 的否定假设.

常见 词语 否定 假设

至少有 至多有一个 唯一一个
一个 一个也 有两个或两 没有或有两 没有 个以上 个及以上

不没 全 都是
是有 不 不都
是有 全是

1

2

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典例透析

对某些数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时 在使用反证法时,对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾, 尤其在一些选择题中,更是如此.

1

2

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2.放缩法的尺度把握等问题 剖析:(1)放缩法的理论依据主要有: ①不等式的传递性; ②等量加不等量为不等量; ③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较; ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质; ⑤三角函数的值域等.

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典例透析

1

2

(2)放缩法使用的主要方法.

放缩法是不等式证明中重要的变形方法之一,放缩必须有目标, 而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法 有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知

不等式、利用函数的性质进行放缩等.比如,

舍去或加上一些项:



+

1 2

2

+

3 4

>



+

1 2

2
;

将分子或分母放大(缩小):

1 2

<

1 (-1)

,

1 2

>

1 (+1)

,

1

<

2 +

,
-1

1

>

2 ( ∈ R,k>1)
+ +1

等.

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题型一

题型二 题型三
题型一 利用反证法证明不等式

【例1】 若a3+b3=2,求证:a+b≤2. 分析:本题结论的反面比原结论更具体、更简洁,宜用反证法. 证法一:假设a+b>2,则a>2-b,故2=a3+b3>(2-b)3+b3, 即2>8-12b+6b2,即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2. 证法二:假设a+b>2,则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6. 故ab(a+b)>2. ∵a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ∴a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0. 这不可能,故a+b≤2.

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题型一 题型二 题型三

证法三:假设 a+b>2,而 a2-ab+b2=

-

1 2



2

+

3 4

2≥0,但取等

号的条件为a=b=0,显然不可能,

∴a2-ab+b2>0.

则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2),而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1.

∴1+ab>a2+b2≥2ab.从而ab<1.

∴a2+b2<1+ab<2.

∴(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.

而由假设a+b>2,得(a+b)2>4,出现矛盾,故假设不成立,原结论成

立,即a+b≤2.

反思 利用反证法证明不等式时,推出的矛盾有三种表现形式:(1)与

已知矛盾;(2)与假设矛盾;(3)与显然成立的事实矛盾.

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题型一 题型二 题型三

【变式训练 1】 设 a,b∈N+,0≤x,y≤1,求证:对于任意实数 a,b

必存在满足条件的 x,y 使|xy-ax-by|≥13 成立.

证明:假设对一切 0≤x,y≤1,结论不成立,

则有|xy-ax-by|< 13.



x=0,y=1,得|b|<

1 3

;



x=1,y=0,得|a|<

1 3

;

令 x=y=1,得|1-a-b|< 13.

又|1-a-b|≥1-|a|-|b|>1?

1 3

?

1 3

=

1 3

矛盾,

故假设不成立,原命题结论正确.

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题型一 题型二 题型三

【例 2】 设二次函数 f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一 个不小于 12.

分析:当要证明的几个代数式中,至少有一个满足某个不等式

时,通常采用反证法.

证明:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于

1 2

,

则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.



另一方面,由绝对值不等式的性质,有

|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)|=|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+

q)|=2.



①②两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确,即 |f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 12.

题型一 题型二 题型三

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反思 1.在证明中含有“至多”“至少”“最多”等词语时,常使用反证 法证明.
2.在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当 于增加了题设条件,因此,在证明过程中必须使用这个增加的条件, 否则将无法推出矛盾.

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题型一 题型二 题型三

【变式训练 2】

已知

a>0,b>0,且

a+b>2.求证:

1+

,

1+

中至少有一个小于 2.

证明:假设

1+

,

1+

都不小于2,则

1+ ≥2,

1+ ≥2.

因为 a>0,b>0,

所以 1+b≥2a,1+a≥2b.

所以 2+a+b≥2(a+b),即 2≥a+b,

这与 a+b>2 矛盾.

故假设不成立,



1+

,

1+

中至少有一个小于2.

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题型一 题型二 题型三

题型二 利用放缩法证明不等式

【例 3】



n

是大于

1

的自然数,求证:

1 12

+

1 22

+

1 32

+

?

+

1 2

<

2.

分析:利用

1 2

<

1 (-1)

=

1 -1

?

1

,



=

2,3,4,

…,n

进行放缩证明.

证明:∵

1 2

<

1 (-1)

=

1 -1

?

1

,



=

2,3,4,

…,n,

111

11 1

1

1

∴ 12 + 22 + 32 + ? + 2 < 1 + 1 × 2 + 2 × 3 + ? + (-1)·

=

1 1

+

1 1

-

1 2

+

1 2

-

1 3

+?+

1 -1

-

1

=2?

1

<

2.

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典例透析

反思 1.利用放缩法证明不等式主要是根据不等式的传递性进行 交换,即欲证a>b,可换成证a>c,且c>b;欲证a<b,可换成证a<c,且c<b.
2.放缩法原理简单,但技巧性较强且有时还会有“危险”,由于放大 或缩小过头,就会得出错误的结论,而达不到预期的目的,因此,在使 用放缩法时要注意放缩的“度”.

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典例透析

【变式训练 3】 求证: 1 × 2 + 2 × 3 + ? + ( + 1) <

(+1)2 2

(∈N+).

证明:当 k∈N+时,

(

+

1)

<

+(+1) 2

=



+

12.

故 1 × 2 + 2 × 3 + ? + ( + 1)

1

1

1

< 1 + 2 + 2 + 2 + ? + + 2

( + 1) 2 + 2 ( + 1)2 = 2 +2= 2 < 2 .

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题型三

易错辨析

易错点 证明不等式时放缩不当致错

【例 4】 已知实数 x,y,z 不全为零.求证:

2 + + 2 +

2 + + 2 +

2

+



+

2

>

3 2

(

+



+

).

错解:2( 2 + + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2) >

2 + + + 2 + 2 + + + 2 + 2 + +

+ 2 = + + + + + + + +

+ + + = ( + ) + + ( + ) · + +

( + ) + , 无法证出结论.

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题型一 题型二 题型三

错因分析:出现放缩过大而达不到预想目的,造成这种现象的

原因是对放缩法理解不透或没掌握好放缩的技巧.

正解: 2 + + 2 =



+

2

2

+

3 4

2





+

2

2
=



+

2

≥x+

2.

同理可得 2 + + 2≥y+ 2, 2 + + 2≥z+ 2,

由于 x,y,z 不全为零,故上述三式中至少有一式取不到等号,所以

三式累加得: 2 + + 2 + 2 + + 2 + 2 + + 2 >





3

+ 2 + + 2 + + 2 = 2 ( + + ).



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