全国高中数学联赛模拟试题6

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全国高中数学联赛模拟试题(六)
(命题人:秦永 苟春鹏)

第一试
一, 选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1,在复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 对应的点为圆心,1 为半径的圆上,
z1 z 2 的实部为零,argz1=

π

6

,则 z2= (B)
3 3 i 2 2 3 3 i 2 2

(A)

3 3 + i 2 2 3 3 + i 2 2

(C )

(D)

1 2,已知函数 f ( x ) = log a ax 2 x + 在[1,2]上恒正,则实数 a 的取值范围是 2 1 5 (A) , 2 8 1 5 3 (C) , ∪ ,+∞ 2 8 2 3 (B) ,+∞ 2 1 (D) ,+∞ 2

3,已知双曲线过点 M(2,4),N(4,4),它的一个焦点为 F1(1,0),则另一个焦 点 F2 的轨迹方程是

(A)

(x 1)2 + ( y 4)2
25 16

= 1 (y≠0)或 x=1(y≠0)

(x 1)2 + ( y 4)2 (B)
16 25

= 1 (x≠0)或 x=1(y≠0)

(C )

(x 4)2 + ( y 1)2
25 16

= 1 (y≠0)或 y=1(x≠0)

(D)

(x 4)2 + ( y 1)2
16 25

= 1 (x≠0)或 y=1(x≠0)

4,已知正实数 a,b 满足 a+b=1,则 M = 1 + a 2 + 1 + 2b 的整数部分是

(A)1 (B)2 (C )3 (D)4 5,一条笔直的大街宽是 40 米,一条人行道穿过这条大街,并与大街成某一 角度,人行道的宽度是 15 米,长度是 50 米,则人行道间的距离是
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(A)9 米 (B)10 米 (C)12 米 (D)15 米 6,一条铁路原有 m 个车站,为适应客运需要新增加 n 个车站(n>1) ,则客 运车票增加了 58 种(注:从甲站到乙站需要两种不同的车票) ,那么原 有车站的个数是 (A)12 (B)13 (C)14 (D)15

二, 填空题: (每小题 6 分,共 36 分)
1,长方形 ABCD 的长 AB 是宽 BC 的 2 3 倍,把它折成无底的正三棱柱,使 AD 与 BC 重合折痕线 EF,GH 分别交原对角线 AC 于 M,N,则折后截 面 AMN 与底面 AFH 所成的角是 . 2,在△ABC 中,a,b,c 是角 A,B,C 的对边,且满足 a2+b2=2c2,则角 C 的最大值是 . 3,从盛满 a 升(a>1)纯酒精的容器里倒出 1 升,然后填满水,再倒出 1 升混合溶液后又用水填满,如此继续下去.则第 n 次操作后溶液的浓度 . 是 4,已知函数 f(x)与 g(x)的定义域均为非负实数集,对任意 x≥0,规定 f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}.若 f(x)=3x,g(x)= 2 x + 5 ,则 f(x)*g(x)的最大 . 值为 5,从 1 到 100 的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于 100, 则可有 不同的取法. 6,若实数 a>0, 则满足 a5a3+a=2 的 a 值属于区间: 0, 6 3 ; ① ② ③

(

)

(

6

2, 6 3 ;

)

(

6

3 ,+∞ ;④ 0, 3 2 .其中正确的是

)

(

)

.

三, (20 分)
求证:经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面 的面积

四, (20 分)
直线 Ax+Bx+C=0(ABC≠0)与椭圆 b2x2+a2y2=a2b2 相交于 P,Q 两点,O 为坐标原点,且 OP⊥OQ.求证: a 2b 2 a2 + b2 = 2 . C2 A + B2

五, (20 分)
某新建商场建有百货部,服装部和家电部三个经营部,共有 190 名
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售货员,计划全商场日营业额(指每日卖出商品的总金额)为 60 万元, 根据经验,各部商品每 1 万元营业额所需售货员人数如表 1,每 1 万元 营业额所得利润如表 2.商场将计划日营业额分配给三个经营部,同时 适当安排各部的营业员人数,若商场预计每日的总利润为 c(万元)且 满足 19≤c≤19.7,又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万 元,问这个商场怎样分配日营业额给三个部?各部分别安排多少名售货 员? 表 1 各部每 1 万元营业额所需人数表 部门 人数 百货部 5 服装部 4 家电部 2 万元营业额所得利润表 表 2 各部每 1 万元营业额所得利润表 部门 利润 百货部 0.3 万元 服装部 0.5 万元 家电部 0.2 万元

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第二试
一, (50 分)
矩形 ABCD 的边 AD=λAB,以 AB 为直径在矩形之外作半圆,在半 圆上任取不同于 A, 的一点 P, PC, 交 AB 于 E, 若 AE2+BF2=AB2, B 连 PD F, 试求正实数λ的值.

二, (50 分)
若 ai∈R+(i=1,2,…,n) S = ∑ ai ,且 2≤n∈N. ,
i =1 n

求证: ∑

3 ak 1 n 2 ≥ ∑ ak . n 1 k =1 k =1 S a k n

三, (50 分)
无穷数列{cn}可由如下法则定义:cn+1=|1|12cn||,而 0≤c1≤1. (1)证明:仅当 c1 是有理数时,数列自某一项开始成为周期数列. (2)存在多少个不同的 c1 值,使得数列自某项之后以 T 为周期(对 于每个 T=2,3,…)?

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参考答案
第一试
一,选择题: 题号 答案 二,填空题: 1, 1 A 2 C 3 A 4 B 5 C 6 C

π
6

;
n

2,

π
3

;

1 3, 1 ; a 5,2500;

4, 2 3 1 ; 6,③④.

三,证略. 四,证略. 五,8,23,29 或 10,20,30(万元) ,对应 40,92,58 或 50,80,60(人) .

第二试
一, λ =
2 ; 2

二,证略. 三, (1)证略. (2)无穷个.

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