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河南省郑州市郑州四中高三第四次调考(数学理).doc


河南省郑州市郑州四中高三第四次调考(数学理)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合 M ? ?1, 2? , N ? ?2a ?1 a ? M?,则 M N ?

A.?1?

B. ?1, 2?

C.?1, 2,3?

D. ?

()

2.不等式

x x2

?1 ?4

?

0

的解集是

()

A. (2,??)
C. ??2,1?

B. ??2,1??(2,??) D. (??,?2) ??1, ???

3.已知复数 Z1 ? 3 ? 4i, Z2 ? t ? i ,且 Z1 ? Z 2 是实数,则实数 t 等于

()

3 A. 4

4 B. 3

4 C.- 3

3 D.- 4

4.已知 p:不等式| x ?1| ? | x ? 2 |? m 的解集为 R; q : f (x) ? log (5?2m) x 为减函数,则 p

成立是 q 成立的

()

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

? ? 5.设 an 是等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 9 , a6 ? 9 ,则这个数列的前 6 项和等于( )

A.12

B.48

C.36

D. 24

6.若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为

A. 4x ? y ? 3 ? 0

B. x ? 4 y ? 5 ? 0

C. 4x ? y ? 3 ? 0

D. x ? 4 y ? 3 ? 0

? 7.要得到函数 y=cos2x 的图象,可以把函数 y=sin(2x- 4 )的图象

()

3? A.向右平移 8 个单位

3? B.向左平移 8 个单位

? C.向左平移 8 个单位

? D.向右平移 4 个单位

8.若直线

ax

?

2by

?

2

?

0(a, b

?

0)

始终平分圆

x2

?

y2

?

4x

?

2y

?

8

?

0

的周长,则

1 a

?

2 b

的最小值为

()

A.1

B.5

C. 4 2

D. 3 ? 2 2

lim 9.若数列{xn}满足 x2

?

x1 2

,

xn

?

1 2

( xn ?1

?

xn?2

),n

?

3,4,

…,



n??

xn

?2 ,则 x1=





3 A. 2 B.4 C.3 D.5

| x ?1 | ? ln 1 ? 0

10.若实数 x, y 满足

y ,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是

(B)

11. f (x), g(x)(g(x) ? 0) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) ? 0

f (?2) ? 0,则不等式 f (x) ? 0



g(x) 的解集为

()

A.(-2,0)∪(0,2)

B.(-∞,-2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

D.(-2,0)∪(2,+∞)

x2 ? y 2 ? 1(x ? 0, y ? 0)

12.已知点 P 是椭圆 16 8

上的动点,F1、F2 为椭圆的两个焦点,O 是坐标原点,若 M

是∠F1PF2 的角平分线上一点,且 F1M ? MP ? 0,则| OM |的取值范围是 (

)



A.[0,3)

B.(0, 2 2 )

C.[2 2 ,3) D.(0,4]Y

二、填空题:本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共请把答案写在相应的位置上.

13.已知函数

f

(x)

?

Asin(?x

??), x ? R

(其中

A

?

0,?

?

0, 0

??

?

? 2

)的图象上一

个最低点为

M

(

2? 3

,

?2)

,与其相邻的最高点为

N

? ??

? 6

,

2

? ??

.则

f

(x)

的解析式为



?x ? y ? 2 ? 0,

14.已知变量 x、y 满足约束条件

??x ? 1,

????

??x ? y ? 7 ? 0,

则y x
的取值范围是



15.已知 a、b 是非零向量且满足 (a ? 2b ) ? a, (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是

;

16.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f(x)的图象恰好通过

k(k∈N*)个整点,则称函数 f(x)为 k 阶整点函数。下列函数:①f(x)=sinx;

②f(x)=π

(x-1)2+3;③

f

(x)

?

(1)x; 3



f

(x)

?

log 0.6

x

,其中是一阶整点函数的有

. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)

在 ?ABC中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? 3 , b2 ? c2 ? 2bc ? 3.

(Ⅰ)求角 A ;

cosB ? 4

(Ⅱ)设

5 ,求边 c 的大小.

18.(本小题满分 12 分)
设函数 f(x)=m·n,其中向量 m=(2cosx,1),n=(cosx, 3 sin2x),x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期及单调增区间;
(2)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,f(A)=2,a= 3 ,b+c=3(b>c),求 b、c 的长.

19.(本小题满分 12 分)

已知数列{an } 中,已知 a1

? 1 , an?1

?

2n ? n

2

an (n

? 1,2,3,? ? ?)


(Ⅰ)证明:数列

? ? ?

an n

? ? ?

是等比数列;

(Ⅱ)求数列?an ?的前 n 项和 S n .

本小题满分 12 分) 森林公园有甲、乙两个相邻景点,原拟定甲景点内有 2 个 A 班的同学和 2 个 B 班的同学;乙景点内有
2 个 A 班同学和 3 个 B 班同学,后由于某种原因甲乙两景点各有一个同学交换景点观光. (1)求甲景点恰有 2 个 A 班同学的概率; (2)求甲景点 A 班同学数ξ 的分布列及期望.

21.(本小题满分 12 分)

若动圆 P 恒过定点 B(2,0),且和定圆 C : (x ? 2)2 ? y 2 ? 4 外切.
(1)求动圆圆心 P 的轨迹 E 的方程;

m:x? 1

(2)若过点 B 的直线 l 与曲线 E 交于 M、N 两点,试判断以 MN 为直径的圆与直线

2是

否相交,若相交,求出所截得劣弧的弧度数,若不相交,请说明理由.

22.(本小题满分 12 分)

f (x) ? 1?1n(x ?1)

已知函数

x

(Ⅰ)求函数 f (x)的定义域 (Ⅱ)确定函数 f (x)在定义域上的单调性,并证明你的结论.

f (x) ? k

(Ⅲ)若 x>0 时

x ? 1 恒成立,求正整数 k 的最大值.

1-12 CBACD ABDCB CB

13.

f

?x?

?

2 sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

14.

参考答案

? ??

9 5

?, ?6???

2? 15. 3

16 .①②④

17 解:
(Ⅰ) a ? 3 ,则 a2 ? c2 ? 2bc ? 3 得: b2 ? c2 ? a2 ? 2bc ,

cos A ? b2 ? c2 ? a 2 3 ? 2bc ? 3 ? 2



2bc = 2bc

2,

A?? ∴ 4 .………………………………………………………………4 分

cosB ? 4 ? 0

sin B ? 3

(Ⅱ)由

5 ,知 B 为锐角,所以

5 .…………5 分

sin C ? sin(A ? B) ? sin Acos B ? cos Asin B ? 2 ? 4 2 ? 3 ? 7 2



2 5 + 2 5 10 .…8 分

c ? a sin C ? 7 3 由正弦定理得: sin A 5 .………………………………10 分

? )
18 . 解 :( 1 )( 1 ) f(x)=2cos 2 x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+ 6

2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? ,?k? ? ? ? x ? k? ? ? .

2

6

2

3

6

[k? ? ? , k? ? ? ],k ? Z

∴单增区间为

3

6

∴ f(x) 的 最 小 正 周 期 为 π .

?)

?) 1

(2)∵f(A)=2,即 1+2sin(2A+ 6 =2,∴sin(2A+ 6 = 2

?

? 13?

∵ 6 <2A+ 6 < 6

? 5? ?A? ?

∴2A+ 6 = 6 .

3

1

b2 ? c2 ? a2 ,

由 cosA= 2 = 2bc

即(b+c) 2 -a 2 =3bc,

?b ? 2 ∴bc=2.又 b+c=3(b>c), ∴ ??c ? 1

19 解(Ⅰ)由 an?1

?

2n ? n

2

an

,得

an ?1 n ?1

?

2?

an n

,又∵ a1

an ? 0∴ n

?0

∴数列

? ? ?

an n

? ? ?

是公比为

2

的等比数列.…………………………………………5



an (Ⅱ)由(Ⅰ)得 n

? 2n?1 ,∴ an

?

n ? 2n?1 .…………………………7 分

Sn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 3? 22 ? … ? n ? 2n?1 .



2Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? … ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n



①–②,得:

? Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? … ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ?1? n ? 2n ,

∴ Sn ? (n ? 1) ? 2n ? 1.

(1)甲乙两景点各有一个同学交换后,甲景点恰有 2 个班同学有下面几种情况: ①互换的 A 班同学,则此时甲景点恰好有 2 个 A 班同学的事件记为 A1, 则

P( A1) ?

C21 ? C21 C41 ? C51

?

1 5

(3 分)

②互换的是 B 班同学,则此时甲景点恰有 2 个 A 班同学的事件记为 A2,则

P( A2 ) ?

C

1 2

?

C31

C

1 4

?

C51

?3 10

(6 分)

1? 3 ?1 故 P=P(A1)+P(A2)= 5 10 2

(8 分)

(2)设甲景点内 A 班同学数为ξ ,则ξ 的分布列为:

ξ

1

2

3

3

1

1

P

10

2

5

3 1 1 19 Eξ = 10 ×1+ 2 ×2+ 5 ×3= 10

(12 分)

21.解:(1)由于圆 P 与圆 C 相外切 ?| PC |?| PB | ?2 即| PC | ? | PB |? 2
∴动圆 P 的圆心的轨迹是以 B、C 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的右支
a ? 1, c ? 2 b2 ? 3

x3 ? y 2 ? 1(x ? 0)

∴动点 P 的轨迹方程为

3

………………6 分(缺少 x ? 0扣 1 分)

m:x? 1

x2 ? y2 ?1

(2)由(1)知 B(2,0),直线

2 为双曲线

3 的过右焦点的右准线,则 MN 为焦点

弦.…………………………7 分

当直线 l 斜率存在时,设 l : y ? k(x ? 2) 代入 x 2

?

y2 3

?1
中得:

(3 ? k 2 )x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0

?

?? ? 16k 4 ? 4( 3 ? k 2 )( 4k 2 ? 3 ) ? 0

?

? ?

x

1

?

?

x2

?

4k 2 k2 ?3

?0

?

4k 2 ? 3

? ?

x

1

x

2

?

k2 ?3

?0

?k2 ? 3

?|

MN

|?

e( x1

?

x2 )

?

2a

?

2?

4k 2 k2 ?3

?

2?1

?

6(k 2 ? 1) k2 ?3



MN

m:
的中点 A 到直线

x

?

1

d

2 的距离

?

x1

? x2 2

?

1 2

?

3(k 2 2(k 2

? 1) ? 3)

?d ? | MN | ? ? 3(k 2 ?1) ? 0

2

2(k 2 ? 3)

?d ? | MN | 2

m:x? 1

∴以 MN 为直径的圆与直线

2 相交.……………………9 分

3(k 2 ? 1)

cos? 2

?

d | MN |

?

2(k 2 3(k 2

? 3) ? 1)

?

1 2

截得劣弧弧度数等于所对圆心角θ 的弧度数又

2

k2 ?3

?? ? ? 23

?? ? 2? 3

当直线 l 斜率不存在时,则直线 m : x ? 2 ,经验证上述结论成立.……12 分

22.(1)定义域 (?1,0) ? (0,??)

f ?(x) ? ?1[ 1 ? ln(x ?1)]

(2)

x2 x ?1

当x ? 0时, f ?(x) ? 0 单调递减。

g(x) ? 1 ? ln( x ? 1)

当 x ?(?1,0) ,令

x ?1

g?(x) ? ? 1 ? 1 ? x ? 0 (x ? 1)2 x ? 1 (x ? 1)2

故 g(x) 在(-1,0)上是减函数即 g(x) ? g(0) ? 1 ? 0 故此时

f

?(x)

?

?

1 x2

[

x

1 ?

1

?

ln( x

? 1)]

在(-1,0)和(0,+ ? )上都是减函数

(3)当

x>0

时,

f

(x)

?

k x ? 1 恒成立,令

x

? 1有k

?

2[1? ln

2]

又 k 为正整数,∴k 的最大值不大于 3

f (x) ? k (x ? 0)

下面证明当 k=3 时

x ?1

恒成立

当 x>0 时 (x ?1) l n x( ?1) ?1? 2x ? 0 恒成立 令 g(x) ? (x ?1) ln(x ?1) ?1? 2x

则 g?(x) ? ln(x ?1) ?1, 当x ? e ?1时 g?(x) ? 0

当 0 ? x ? e ?1时, g?(x) ? 0

∴当 x ? e ?1时, g(x) 取得最小值 g(e ?1) ? 3 ? e ? 0

当 x>0 时 (x ?1) l n x( ?1) ?1? 2x ? 0 恒成立 因此正整数 k 的最大值为 3



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