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2020版人教A版数学选修4-5同步配套__第二讲 证明不等式的基本本讲整合2_图文


本讲整合
-1-

知识建构

综合应用

真题放送

比较法 作差比较法

基本方法

作商比较法

证明不等式的方法

综合法

分析法

反证法 特殊方法
放缩法

知识建构

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

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专题一 比较法 比较法证明不等式的依据是:不等式的意义及实数比较大小的充
要条件.作差比较法证明的一般步骤是:①作差;②恒等变形;③判断 结果的符号;④下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关 键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是 多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分 解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.

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应用1设a≠b,求证:a2+3b2>2b(a+b). 提示:用作差比较法证明.作差比较法的步骤是:①作差;②变形; ③判断差与0的大小关系;④下结论,其中最关键的步骤是②③. 证明:(a2+3b2)-2b(a+b)=a2+3b2-2ab-2b2=a2-2ab+b2=(a-b)2.因为 a≠b,所以a-b≠0. 从而(a-b)2>0,于是(a2+3b2)-2b(a+b)>0. 所以a2+3b2>2b(a+b).

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应用

2



a=

ln2 2

,



=

ln3 3

,



=

ln5 5

,

则(

)

A.a<b<c B.c<b<a

C.c<a<b D.b<a<c

提示:作商比较法的步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小

关系;④下结论.其中②③是关键步骤,同时要注意分子、分母的正

负.

解析:∵



=

2ln3 3ln2

=

log89

>

1,

且a>0,b>0,∴b>a.





=

5ln2 2ln5

=

log2532

>

1,

且a>0,c>0,

∴a>c.∴c<a<b.

答案:C

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专题二 综合法 综合法证明不等式的依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理 论.证明时要注意:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已 证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避 免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对 重要不等式中“当且仅当……时,等号成立”的理由要理解掌握.综合 法证明不等式的思维方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推 出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.

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应用已知a,b,c为△ABC的三条边,求证:a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).

提示:应用余弦定理解决.

证明:设 a,b 两边的夹角为 θ,

则由余弦定理,得 cos θ= 2+22-2.



0<θ<π,知

cos

θ<1,故

2+2-2 2

<

1,

即 a2+b2-c2<2ab.

同理可证 b2+c2-a2<2bc,c2+a2-b2<2ac,

将上面三个同向不等式相加,即得

a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).

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专题三 分析法 分析法证明不等式的依据:不等式的基本性质、已知的重要不等 式和逻辑推理的基本理论.分析法证明不等式的思维方向是“逆 求”(但绝不是逆推),即由待证的不等式出发,逐步逆求使其成立的 充分条件(执果索因),最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式. 当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是 对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.分析法是“执果索 因”,步步寻求上一步成立的充分条件,而综合法是“由因导果”,逐步 推导出不等式成立的必要条件,两者是对立统一的两种方法,一般 说来,对于较复杂的不等式,直接用综合法往往不易入手,因此,常用 分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合 法可结合使用.

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应用设a>0,b>0,求证:a5+b5≥a3b2+a2b3. 提示:此题可以用分析法、综合法和比较法来证明,这里我们用 分析法证明. 证明:要证a5+b5≥a3b2+a2b3成立, 即证(a5-a3b2)+(b5-a2b3)≥0成立, 即证a3(a2-b2)+b3(b2-a2)≥0成立, 即证(a3-b3)(a2-b2)≥0成立. 而a>0,b>0,当a≥b>0或b≥a>0时, a3-b3与a2-b2的符号都相同, 所以(a3-b3)(a2-b2)≥0成立. 所以原不等式成立.

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专题四 反证法 运用反证法证明不等式,主要有以下两个步骤:①作出与所证不 等式相反的假设;②从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出 矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立. 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题.涉及“都 是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题,也常用 反证法.

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应用用反证法证明钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一 半.

解:已知:如图,在△ABC 中,∠CAB>90°,D 是 BC 的中点.

求证:AD<

1 2

.

证明:假设 AD≥12 .

(1)若

AD=

1 2

,

则由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半,则

这条边所对的角为直角”,知∠CAB=90°,与题设矛盾.所以

AD≠12 .

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(2)若

AD>

1 2

,

因为BD=DC=

1 2

,

所以在△ABD中,AD>BD,从而∠B>∠BAD.

同理∠C>∠CAD.

所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD,

即∠B+∠C>∠CAB.

因为∠B+∠C=180°-∠CAB,

所以180°-∠CAB>∠CAB,

则∠CAB<90°,这与题设矛盾.

由(1)(2)知

AD<

1 2

.

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专题五 放缩法 在证明不等式时,有时我们要把所证不等式的一边适当地放大 (或缩小)以方便化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明 显,从而得到欲证的不等式成立,这种证明的方法称为放缩法.它是 证明不等式的特殊方法.

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应用已知

a,b,c

为三角形的三边,求证:以

1+

,

1+

,

1+

为边可以构成一个三角形.

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证明:设

f(x)=

1+

,

∈(0,+∞),0<x1<x2,



f(x2)-f(x1)=

2 1+2

?

1 1+1

=

2-1 (1+2)(1+1)

>

0,

(2)

>

(1),

即 f(x)在(0,+∞)内为增函数.

∵a,b,c 为三角形的三边,∴a+b>c.



+





∴ 1 + < 1 + ( + ) = 1 + + + 1 + +

<

1

+



+

1

+



,



1

+



<

1

+



+

1

+

.

同理可证

1+

<

1+

+

1+

,

1+

<

1+

+

1+ ,

∴以

1+

,

1+

,

1+

为边可构成一个三角形.

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1(2017全国2,理23)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:

(1)(a+b)(a5+b5)≥4;

(2)a+b≤2.

证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6

=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)

=4+ab(a2-b2)2≥4.

(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

=2+3ab(a+b)≤2+

3(+)2 4

(

+

)

=2+ 3(+4 )3,

所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.

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2(2015 课标全国Ⅱ,理 24)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明:
(1)若 ab>cd,则 + > + ; (2) + > + 是| ? | < | ? |的充要条件.
证明:(1)因为( + )2 = + + 2 , ( + )2 = + + 2 , 由题设 a+b=c+d,ab>cd得( + )2 > ( + )2. 因此 +
> + . (2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2, 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd. 由(1)得 + > + .

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②若 + > + , 则( + )2 > ( + )2, 即 a+b+2 > + + 2 . 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|. 综上, + > + 是|a-b|<|c-d|的充要条件.



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