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2020版人教A版数学选修4-5同步配套__第二讲 证明不等式的基本2.1


第二讲 证明不等式的基本方法
-1-

一 比较法
-2-

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1.理解作差比较法和作商比较法. 2.用比较法证明不等式.

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1.比较法的种类 比较法一般分为两种:作差比较法和作商比较法.

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2.作差比较法 (1)作差比较法的证明依据: ①a<b?a-b<0;②a=b?a-b=0;③a>b?a-b>0. (2)基本步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论. 归纳总结 用作差比较法证明不等式时,要判断不等式两边差的 符号,对不等式两边求差后,要通过配方、因式分解、通分等,对所 得代数式进行变形,得到一个能够明显看得出其符号的代数式,进 而得出证明.

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【做一做1-1】 当a<b<0时,下列关系式成立的是 ( )

A. 2 < 2

C.



>

1

B. lg 2 < lg 2

D.

1 2

2

>

1 2 2

解析:方法一:取特殊值a=-4,b=-1,则知选项A,C,D不正确,选项B 正确,故选B;
方法二:∵a<b<0,∴a2>b2. 而函数y=lg x(x>0)为增函数, ∴lg b2<lg a2,B项正确. 答案:B

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【做一做 1-2】 若 P= 2, = 6 ? 2, = 7 ? 3, 则, , 的大小关系是( )
A.P>Q>R B.P>R>Q C.Q>P>R D.Q>R>P
解析:∵ 2 + 2 = 2 2 > 6, ∴ 2 > 6 ? 2, 即P>Q.∵ 6 + 3 > 7 + 2, ∴ 6 ? 2 > 7 ? 3, 即Q>R. ∴P>Q>R.
答案:A

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3.作商比较法 (1)作商比较法的证明依据:当 a,b>0 时,



=

?



=

1,



>

?



>

1,.



<

?



<

1

(2)基本步骤:①作商;②变形;③判断与“1”的大小;④下结论.

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【做一做 2】

比较大小:log1
2

1 3

log1
3

1 2

.

log113
解析:log2112

=

log1
2

13·log12

1 3

=

log1
2

1 3

2
.

3

∵log1
2

1 3

>

log1
2

1 2

=

1,



log1
2

1 3

2

> 1.



log1
2

1 3

>

0,

log1
3

1 2

>

0,



log1
2

1 3

>

log1
3

12.

答案:>

1

2

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1.作差比较法证明不等式的一般步骤 剖析(1)作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差. (2)变形:将差式进行变形,变形为一个常数,或变形为若干个因式 的积,或变形为一个或几个平方和等. (3)判断符号:根据已知条件与上述变形结果,判断差的正负号. (4)结论:根据差的正负号下结论. 知识拓展若差式的符号不能确定,一般是与某些字母的取值有关 时,则需对这些字母进行讨论.

1

2

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2.作商比较法中的符号问题的确定

剖析在作商比较法中,



>

1?b>a

是不正确的,这与

a,b

的符号有

关,比如,若

a,b>0,由



>

1,

可得b>a;若

a,b<0,则由



>

1

得出的反

题型一 题型二 题型三

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题型一 利用作差比较法证明不等式

【例 1】 已知 a≥1,求证: + 1 ? < ? -1.

分析:因不等式的两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号, 故可用作差比较法进行证明.

证明:∵( + 1 ?

) ? ( ?

-1) =

1 +1+

?

1 + -1

-1- + 1

=

< 0, ∴ + 1 ? < ? -1.

( + 1 + )( + -1)

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反思根据左、右两边都含无理式的特点,也可以采取两边平方的 方法来比较,但是应先判断不等式两边的符号,当不等式两边都大 于0时,两边平方是等价变形,当不等式两边都小于0时,两边平方后 要改变不等号的方向.

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题型一 题型二 题型三
【变式训练 1】 已知 a,b,c∈R+,求证:lg ·lg ≥lg ·lg .

分析:将商的对数化成对数的差,就是“化整为零”,有利于符号的 确定.

证明:∵lg

·lg



?

lg

·lg



=(lg

c-lg

a)(lg

c-lg

b)?

1 4

(lg

a-lg

b)(lg

b-lg

a)

=lg2c-(lg

a+lg

b)lg

c+lg

alg

b+

1 4

(lg

a-lg

b)2

=lg2c-(lg

ab)lg

c+

1 4

(lg

a+lg

b)2

=

lg-

1 2

lg()

2≥0,∴lg ·lg

≥lg

·lg

.

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题型一

题型二 题型三
题型二 利用作商比较法证明不等式

【例 2】

已知 a>0,b>0,求证:



+





+

.

分析:因为a,b均为正数,所以不等式左边和右边都是正数,故可

以用作商比较法进行比较.

证明:∵



+



=


+

+

+





=

+

+ +


+

+ 2 + + 2 =
2 + ( + )

2 + 2 + ( + )

=

,

2 + ( + )

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题型一 题型二 题型三

又a2+b2≥2ab,

2 + 2 + ( + ) 2 + ( + )





= 1,

2 + ( + ) 2 + ( + )

当且仅当 a=b>0 时,等号成立.

∵a>0,b>0,∴

+




> 0,

+

> 0,

∴ + ≥ + .


直反到能 思清作晰 商看比出较法 与的1前的提大条小件关是系两为个止数.在a,运b 都算大过于程中0,对注意 进运行用整计理算,

技巧.

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【变式训练 2】

已知

a>0,b>0,A=

+ 2

,



=

2 +

,

求证:

≥B.

证明:∵a>0,b>0,∴A>0,B>0.





=

+ 2
2

=

+ 2

·

+ 2



=

( + )2 4



4 4

=

1,

+

当且仅当a=b时,等号成立.

∴A≥B.

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题型三 比较法在综合题目中的应用
【例3】 已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且 Sn+1=2Sn+n+5(n∈N+).
(1)证明:数列{an+1}是等比数列; (2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1),并 比较2f'(1)与23n2-13n的大小. 分析:在比较大小时,作差法的差式与“n”的取值有关,且大小关 系随“n”的变化而变化.

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题型一 题型二 题型三

(1)证明:∵Sn+1=2Sn+n+5,①

∴当n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4,②

①②两式相减,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,

即an+1=2an+1,从而an+1+1=2(an+1).

当n=1时,S2=2S1+1+5,

∴a1+a2=2a1+6.

又a1=5,∴a2=11,从而a2+1=2(a1+1).

故总有an+1+1=2(an+1),n∈N+.



a1=5,得

an+1≠0,从而

+1+1 +1

=

2,

即数列{an+1}是以 a1+1=6 为首项,2 为公比的等比数列.

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(2) 解:由(1)可知an=3×2n-1. ∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn, ∴f'(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1. 从而f'(1)=a1+2a2+…+nan =(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)
=3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+3+…+n)

=3[n×2n+1-(2+22+…+2n)]?

(+1) 2

=3(n×2n+1-2n+1+2)?

(+1) 2

=3(n-1)·2n+1?

(+1) 2

+

6.

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则2f'(1)-(23n2-13n) =12(n-1)·2n-12(2n2-n-1) =12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1) =12(n-1)[2n-(2n+1)]. (*) 当n=1时,(*)式=0,∴2f'(1)=23n2-13n; 当n=2时,(*)式=-12<0, ∴2f'(1)<23n2-13n; 当n≥3时,n-1>0. 令f(n)=2n-(2n+1),则f'(n)=2nln 2-2, 此时f'(n)>0.又f(3)>0, ∴当n≥3时,2n>2n+1. ∴(n-1)[2n-(2n+1)]>0, 即(*)式>0,从而2f'(1)>23n2-13n.

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反思此类比较大小的题目是典型的结论不唯一的题目.在数列中, 大小问题可能会随“n”的变化而变化.往往n=1,2,…,前几个自然数 对应的值与后面n≥n0的值大小不一样,这就要求在解答这样的题 目时,要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头,即时刻提醒自己所求 解的问题是否需要讨论.

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【变式训练 3】 已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点

( , + 1)(∈N+)在函数 y=x2+1 的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+2 , 求证: ·bn+2< 2+1.

(1) 解:由已知得an+1=an+1,即an+1-an=1. 又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列. 故an=1+(n-1)×1=n. (2)证明:由(1)知an=n,从而bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1

=2n-1+2n-2+…+2+1=

1-2 1-2

=

2

?

1.

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因为 bn·bn+2?2+1 = 2 ? 1 2 + 2 ? 1 ? 2 + 1 ? 1 2 = (22 + 2 ? 2 + 2 ? 2 + 1) ? (22 + 2 ? 2·2n+1+1) =-5·2n+4·2n=-2n<0, 所以 bn·bn+2< 2+1.



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